<경제학원론 - 제4장> 1. 소설책의 가격 (Py) : $8 , CD의 가격(Px) :$6 , 예산(I) : $120 (Px*Qx)+(Py*Qy)=I  Qy=-(Px/Py)*Qx +I/Py (Px=$6, Py=$8, I=$120 대입) ∴Qy=-(3/4)*Qx +15 a. CD가격이 $6에서 $10로 상승했을 때. : 위의 그래프에서 볼 수 있듯이 CD 가격의 상승은 예산 선을 왼쪽으로 회전시키게 된다. 즉, CD 가격이 $6 일 때는 전체소득 $120 로 CD 20장을 구입할 수 있었지만 CD 가격이 $10 로 상승하게 되면서 12장만을 구매할 수 있게 되었기 때문이다. 소설책의 가격은 변화하지 않았으므로 그림과 같이 수직 축은 아무런 변화가 없을 것이다. b. : CD 가격이 오른 상태의 그래프는 Qy= -(5/4)*Qx +15이다. 하지만 Parvez의 소득증가로 인해 그래프는 Qy= -(5/4)*Qx +30 이 된다. 즉, 소설책과 CD 가격이 각각 $8 와 $10일 때 이제는 소설책 30권과 CD 24장을 구매할 수 있는 능력이 생긴 것이다. 그래프를 관찰해 보면 기존의 예산선 그래프와 소득증가 후의 예산선 그래프가 평행함을 알 수 있을 것이다. 이는 이미 배운바와 같이 두 재화의 가격비 (PCD / P소설책 = 5/4 )가 변화하지 않았기 때문이다. 따라서 소득의 변화는 그래프를 왼쪽으로 또는 오른쪽으로 이동 시킬 수 있으나, 그래프의 기울기에는 아무런 영향도 미치지 못함을 알 수 있다. 3. Anita가 효용을 극대화하기 위해서는 두 재화(피자와 콜라)의 달러 당 한계효용이 갖도록 소비조합을 구성해야 한다. 이를 다시 표현하면 MU(피자)/ P(피자) = MU(콜라)/ P(콜라) 와 같을 것이다. 하지만 Anita가 이러한 소비조합을 찾아낸다 해도 Anita에겐 한 가지 제약이 존재한다. 즉, Anita는 한정된 돈을 갖고 소비를 하기 때문에 다음 식과 같은 예산의 제약에 부딪히기 된다는 것이다. (P피자*Q피자소비량) +(P콜라*Q콜라소비량) = I(예산) 결국 Anita가 자신의 효용을 극대화하기 위해서는 위의 두 조건을 만족시키는 소비조합을 찾아야 한다. 이제 다음 표를 분석해 Anita의 효용극대화 점을 찾아보자. 수량 총 효용 한계효용(MUx) MUx/Px 수량 총 효용 한계효용(MUx) MUx/Px 4 115 ∙ ∙ 5 63 ∙ ∙ 5 135 20 20 6 75 12 24 6 154 19 19 7 86 11 22 7 171 17 17 8 96 10 20 먼저 첫 번째 조건(한계효용균등의 법칙)을 만족시키는 점을 찾아보면 피자 5조각과 콜라 8캔이며, 이 점이 바로 Anita가 효용을 극대화 할 수 있는 소비조합이다. 그렇다면 두 번째 조건(예산제약) 또한 만족하는지 알아보자. 아래 제시된 식의 결과에서 알 수 있듯이 Anita는 자신의 예산을 넘지 않는 범위에서 소비를 하고 있다. (Px*Qx)+(Py*Qy) = I 이므로 ($1*5조각)+($0.5*8캔)=$9 5. a. 가격이 $1일 때 QD = 100-(25*1) = 75병 ∴시장수요 = 75*1000 =75000병 b. 가격이 $2일 때 QD = 100-(25*2) = 50병 ∴시장수요 = 50*1000 =50000병 c. 우리는 a번 문제와 b번 문제를 통해 각 개인(개별소비자)들의 수요량이 가격에 의해 좌우됨을 알 수 있었으며, 이를 바탕으로 1000명의 식수 소비량 또한 정확하게 예측할 수 있었다. 물론 이와 같은 예측은 절대적으로 옳다 말 할 수 없을 것이다. 개별 소비자들의 수요는 가격이외의 다른 요소들에 의해서도 변화 할 수 있기 때문이다. 하지만 우리가 이러한 예측을 할 수 있었던 기초적 가정(모든 소비자는 가격에 의해서만 수요량을 조절한다.)이 뜬금없이 어디선가 튀어나온 것이 아니라는 점을 알아야 한다. (현실에서 가격이 소비에 미치는 영향은 실제로도 다른 요인들이 수요에 미치는 영향보다 크다.) 만약 우리의 경제생활 속에서 나타나는 현상을 하나의 독립변수(가격)만을 갖고 설명할 수 있다면 위 문제들의 결과는 절대적으로 옳다 말 할 수 있을 것이다. 어쨌든 우리는 이 문제에서 모든 소비자는 가격에 의해서만 수요량을 조절한다는 점을 가정하고 문제를 보아야 한다. 이러한 바탕위에서 c번 문제에 접근한다면 각 가격에 대한 개별 수요자들의 수요량을 합한 것이 시장전체의 수요량이 된다는 점은 쉽게 알 수 있을 것이다. 그리고 다음은 이를 표현한 그래프이다. 7. a. Pulp Fiction Publishing Co.가 책을 생산하는데 드는 비용은 종전보다 증가하게 된다. 이는 생산요소인 종이의 가격이 상승함에 따라 나타나는 현상이다. 따라서 책의 시장공급량은 줄게 되며, 이때 가격 또한 위 그래프와 같이 상승하게 된다. b.앞서 말한바와 같이 위 현상은 책의 생산요소인 종이 가격이 상승함에 따라 생산물 자체의 가격 또한 높아진 상황이다. 이 경우 우리는 가격의 변화로 인해 나타나는 소비의 두 가지 측면을 살펴 볼 수 있다. 즉, 소비에 있어 재화의 가격 변화로 인한 소득효과와 대체효과가 그것이다. 먼저 소득효과의 측면에서 볼 때 책 가격의 상승은 기존 소비자들의 예산을 더욱 제약하게 만드는 효과를 불러온다. 다시 말해 이제 소비자들의 예산은 종전보다 작아지게 되었다는 뜻이다. 결국 책에 대한 시장수요량은 소비자들의 구매력 하락으로 인해 감소하게 될 것이다. 다음으로 대체효과의 측면에서 이 현상을 살펴보자. 책을 대체할만한 것들을 먼저 찾아보면 전자인쇄물, 책의 내용을 담은 영상∙음성 매체물 정도를 들 수 있을 것이다. 이미 배운바와 같이 대체 관계에 놓인 재화가 있을 때 한 재화의 가격이 상승하거나 하락하게 되면 상대적으로 저렴해진 대체재에 대한 수요가 증가하게 마련이다. 결국 이 경우도 책 가격의 상승으로 인해 앞서 제시된 책의 대체재에 대한 수요를 증가 시킬 것이다. 사실 책은 대부분의 사람들에게 정상재적인 성격을 띠고 있다. 위의 두 효과가 뚜렷하게 수요의 법칙에 부합되는 방향으로 흘러가는 이유도 그 때문이다. 만약 책이 열등재적인 성격을 지녔다면 우리는 대체효과와 소득효과 중 어떤 효과가 더 크게 일어나는가에 따라 수요량의 변화를 살펴봐야 할 것이다. 하지만 책에 제시된 바와 같이 소득효과로 인해 구매력 증가가 뚜렷하게 나타나는 경우는 드물다. 이 때문에 대체효과는 언제나 열등재에 지배적인 영향을 갖게 되는 것이다. 결국 우리는 책을 열등재로 보더라도 정상재와 같이 수요의 법칙을 따르게 되는 현상에 마주하게 되는 것이다. 9. a. 사람들의 선호를 측정하고, 이를 체계적으로 설명하기란 쉬운 일이 아니다. 이는 한 재화에 대한 사람들의 선호가 모두 다르며, 재화의 소비에서 개인들이 갖게 되는 효용의 크기 또한 천차만별이기 때문이다. 하지만 경제학에서는 시장에서 나타나는 소비자들의 행태와 경제현상들을 설명하기 위해 소비자 선호와 관련된 몇 가지 가정을 전제하고 있다. 그 첫 번째 가정은 바로 소비자들 개개인이 재화에 대해 잘 정의된 선호체계를 갖고 있다는 것이며, 두 번째 가정은 그러한 선호가 논리적으로 일관성을 보인다는 것이다. 이제 문제로 돌아와 Joseph 이 처해있는 상황을 살펴보자. Joseph은 직업과 대학 진학이란 두 가지 대안을 놓고 선택해야 하는 상황에 놓여 있다. 소비자 선호에 대한 경제학의 가정을 통해 보았을 때 Joseph은 직업과 대학진학에 대한 명확한 선호체계(어느 한쪽이 선호 우위에 있거나 또는 두 대안이 동일한 선호를 지녀 어떠한 선택을 하더라도 같은 크기의 효용을 얻을 수 있을 것이라는 것을 명확히 알 때)를 지니고 있을 것이다. 하지만 Joseph은 이러한 선호체계를 갖고 있지 못한 듯 하다. 사실 우리는 현실에서 Joseph과 같은 상황에 자주 처하게 되며, 이러한 선호체계의 불분명함은 우리를 선택의 기로에서 큰 고민에 빠뜨린다. 결국 경제학에서 가정하고 있는 소비선호는 경제현상들을 설명하기 위한 가정인 것이며, 위와 같은 예외적인 상황(선호체계가 불분명 할 때) 고려하지 않고 있는 것이다. b. a번 문제에서도 언급되었지만 재화를 선택하는데 있어 소비자들이 갖는 선호체계는 개인마다 다른 특성을 지니고 있다. 즉, 아이스크림을 선택하는 경우 각 개인들은 아이스크림에 대한 맛, 가격, 제조업체의 이미지 등과 같은 주관적 요소에 의해 서로 다른 선호체계를 갖게 된다. 이처럼 선호는 사람들마다 광범위한 차이를 보이게 되는 것이며, 따라서 한 재화에 대해 많은 사람들이 비슷한 선호를 갖는다 해도 우리는 그것을 일반화 시켜서는 안되는 것이다. 한 가지 예를 들어보자. 과거 대부분의 농구 선수들은 경기를 할 때 발목을 지지해 주는 농구화만이 안정성과 플레이어의 운동능력을 향상시켜 준다고 생각했다. 하지만 이것이 농구선수 전체의 선호라고 볼 수 있을까? 물론 많은 선수들이 실제로 이러한 생각을 지니고 있으며, 어느 정도 많은 농구 선수들에게서 발견할 수 있는 선호일 것이다. 하지만 중요한 것은 모든 농구선수에게 적용되는 선호가 아니라는 것이다. 즉, 빠른 움직임을 필요로 하는 포인트 가드들에게는 발목까지 올라오는 농구화가 불편함을 줄 수 있으며, 어떤 선수들은 움직임의 민첩함을 잃게 해 다른 부상을 일으킬 수 있다고 생각할 수 있다는 것이다.(오늘날 실제 이러한 선호가 반영된 농구화들이 많이 등장했다.) 결론적으로 말한다면 많은 사람들의 선호가 곧 모든 사람들의 선호가 될 수 없다는 것이다. 문제에서와 같이 파스타에 머스타드 소스를 넣어 먹는 Brenda의 행동이 다른 많은 사람들의 선호와는 분명 다를 것이다. 하지만 이를 비합리적 선호라 부를 수는 없다는 것이다. 결국 소비자 선호이론에서 이러한 예외적 행동을 제외한 채 합리성을 정의한다면 현실 세계를 설명하지 못하는 모순적 상황에 직면할 수 있다는 것이다. c. 합리적 선호에 대한 가정 중 두 번째는 소비자의 선호가 논리적 일관성을 갖는다는 점이었다. 하지만 Brewster의 선호는 이러한 일관성을 결여하고 있다. 이는 아래 제시된Brewster의 선호체계를 통해 알 수 있다. 1. 로맨틱 코미디 영화 < 액션 영화 2. 해외 영화 < 로맨틱 코미디 영화 따라서 Brewster가 위와 같은 선호체계를 갖는다면 해외 영화 보다 액션 영화를 더 선호해야한다. 결국 Brewster는 액션 영화 보다 해외 영화에 더 큰 선호를 둠으로써 선호체계의 논리적 일관성을 갖고 있지 못하다. 11. a. I(예산)=$100일 때 (Px*Qx)+(Py*Qy)=I  Qy=-(Px/Py)*Qx +I/Py (Px=$2, Py=$10, I=$100 대입) ∴Qy=-(1/5)*Qx +10 b. 월간 I(예산)=$80 로 감소했을 때 : 위의 그래프에서 볼 수 있듯이 소득의 감소는 예산선을 아래쪽으로 이동 시킨다. 물론 이때 Cameron이 갖게 되는 무차별 곡선 또한 함께 이동하게 된다. 한 가지 알아 두어야 할 것은 무차별 곡선이 아래쪽으로만 이동한 것이 아니라 우측으로 함께 이동했다는 점이다. 이는 Cameron이 예산 감소로 인해 감자(열등재) 소비(Qx`)량을 전보다 증대시키기 때문이다. (물론 Cameron은 감자 소비를 늘리기 위해 스테이크 소비를 더 감소 시켰다.) 결국 그래프와 같이 예산선과 무차별 곡선이 만나게 되는 점은 A점에서 B점으로 변화 하게 되는 것이다. (도전 문제) 1. : 소비자의 임금은 인플레이션의 영향으로 증가하게 된다. 따라서 소비자의 예산(I) 또한 증대됨을 알 수 있다. 하지만 이러한 예산증가로 소비자의 구매력이 높아지지는 않는다. 이유는 인플레이션이 임금뿐만 아니라 소비자가 수요 하는 재화의 가격들에게도 영향을 미쳤기 때문이다. 따라서 문제에서와 같이 인플레이션이 동일한 크기로 임금과 재화의 가격에 영향을 미쳤다면 소비자는 전과 동일한 예산을 갖는다고 볼 수 있는 것이다. 즉, 예산제약 식은 전과 동일하며, 인플레이션 전과 후 모두 위와 같은 동일한 그래프를 갖게 될 것이다. 2. a. 한계대체율이 일정하다는 것은 무차별곡선 위의 모든 점에서 그래프가 갖는 기울기가 동일하다는 것이다. 즉, 소비자가 아이스크림(팝콘) 한 단위를 더 소비함으로써 포기하게 되는 팝콘(아이스크림)량이 어떤 점에서든 같다는 것을 의미한다. 이를 그래프로 표현하면 아래와 같은 무차별 지도를 얻을 수 있게 된다. b. Heather의 경우 아이스크림은 좋아하지만 팝콘은 싫어한다.(즉, MUy<0 이라는 것이다.) 이러한 경우 무차별 곡선은 다음과 같다. 위의 경우 팝콘은 음(-0)의 효용을 주는 재화라고 할 수 있으며, 이는 Heather가 팝콘을 소비하더라도 별 만족을 얻을 수 없다는 것이다. 그래프가 위와 같은 모양을 나타내는 이유는 쉽게 설명하면 현재 Q`(1,2)점에 있는 Heather가 Q``(2,4)점으로 이동하기 위해서는(싫어하는 팝콘을 4단위 소비하게 하기위해서는) X재(아이스크림) 한 단위를 더 소비할 수 있어야 한다는 것이다. 다시 말해 무차별 곡선상의 Q`점과 Q``점에서 Heather가 같은 효용을 얻기 위해서는 Q``으로 이동하게 되면서 얻게 되는 불만족을 상쇄시킬만한 크기의 만족이 필요하며, 그것이 바로 X재(아이스크림) 한 단위라는 것이다. 마지막으로 그림에서와 같이 무차별 지도가 그려지는 것은 Y재(팝콘)보다 X재(아이스크림)를 Heather가 더 선호하기 때문에 무차별 곡선이 X축에 가까워는 것이다. c. Andy의 경우 아이스크림을 더 많이 먹을수록 더 먹길 원하며, 추가적인 아이스크림을 먹기 위하여 점점 더 많은 양의 팝콘을 희생시키고자 한다. 즉, 한 단위의 아이스크림을 더 소비하기 위해 포기하는 팝콘의 양을 증가시킨다는 의미이다. 이를 그래프로 표현하면 다음과 같은 무차별 지도를 얻을 수 있다.(교재 152페이지의 무차별 곡선과 반대되는 경우라고 생각하면 쉽게 풀 수 있을 것이다.) Qx를 아이스크림으로 놓고 Qy를 팝콘으로 보았을 때 아이크림 한 단위를 더 얻기 위해 포기되는 팝콘의 양이 점점 확인할 수 있을 것이다. 3.문제 풀이에 앞서 소비자 균형조건에 대해 조금 더 생각해 보자.(물론 문제풀이를 좀 더 쉽게 이해하기 위해 필요한 과정이니 만큼 잘 살펴보길 바란다.) 우린 이미 교재의 본문에서 본바와 같이 MRSxy(무차별 곡선의 기울기)=Px/Py(예산선의 기울기) 인 점에서 소비자의 효용 극대화가 이루어진다는 것을 살펴보았다. 이를 다시 표현 한다면 소비자의 주관적인 X재와 Y재의 교환비율(MRSxy)과 시장에서 결정된 두 재화의 객관적인 교환비율(Px/Py)이 일치하는 점에서 효용극대화가 달성된다는 것이다. 다음 식들을 살펴보자. MRSxy =-(∆Y/∆X)=MUx/MUy (∵MUx*∆X =-MUy*∆Y → -∆Y/∆X=MUx/MUy) MRSxy = MUx/MUy → Px/Py = MUx/MUy → MUx/Px = MUy/Py 결국 소비자가 지출하는 1원의 한계효용이 동일한 두 재화의 소비조합에서 소비의 효용을 극대화 할 수 있다는 한계효용의 법칙을 도출 할 수 있다. 다시 말해 무차별곡선과 관련해 다루어진 이론은 바로 한계효용균등의 법칙과 동일한 의미를 담고 있는 것이다. 위에 제시된 과정을 이해한 후 문제로 돌아와 MRSxy > Px/Py를 본다면 직관적으로 이것이 소비자의 효용을 극대화 하는 지점이 아님을 알 수 있을 것이다. 이제 이를 좀 더 명확히 분석해 보자. 아래 그림에서 MRSxy > Px/Py 가 위치하는 점이 A임을 알 수 있을 것이다. 또한 그 식은 다음과 같을 것이다. → MUx/MUy > Px/Py (∵MRSxy = MUx/MUy) → MUx/Px > MUy/Py 결국 효용을 극대화하기 위해서는 X재 수요량을 늘리고 Y재 수요량을 줄임으로써 점 B로 소비조합을 이동시켜야 한다. 그리고 이때가 바로 MUx/Px = MUy/Py 식을 만족시키는 지점이 될 것이다.

<경제학원론 문제 - chapter2>

 

1. 위 그래프에서 알 수 있듯이 이 그래프는 우리가 이미 살펴본 <그림2-1>의 기본구조를그대로 옮겨 놓은 것이다. 다만 한가지 다른 점이 있다면 이제는 수직 축에 표시된 다른 모든 재화의 생산량을 일정하게 증가시키고 있다는 점이다. (그림2-1의 수평축에 표시된 목숨을 건진 위급한 환자의 수를 일정하게 증가시켰듯이 말이다.) 이러한 변화를 준 이유는 두 방향 모두에서 기회비용 체증의 법칙이 적용되는지를 알아보기 위해서이다. 즉, 우리는 <그림2-1>을 통해 목숨을 건진 환자의 수를 증가시킬수록 감소되는 다른 모든 재화의 수량이 점점 더 크게 됨을 알 수 있었다. 결국 이를 통해 우리는 어떤 재화(목숨을 건진 위급환자의 수)를 더 많이 생산할 때 그 생산이 늘어남에 따라 기회비용(줄어드는 다른 모든 재화의 생산량)은 점점 더 커진다는 기회비용체증의 법칙이 성립됨을 이해할 수 있었던 것이다. 그렇다면 그 반대인 다른 모든 재화의 생산량을 일정하게 증가시킬 때도 이와 같은 현상이 나타날까? 이를 확인해보는 것이 1번 문제의 주된 관심이며, 그 대답은 그래프에서 볼 수 있는 바와 같이 ‘그렇다’ 이다. 위 그래프가 보여주듯이 다른 모든 재화의 생산량이 200,000씩 증가할수록 목숨을 건진 위급환자의 수가 점점 더 큰 폭으로 줄어듦을 알 수 있다. 결국 기회비용체증의 법칙은 어느 방향에서 측정해도 나타나는 현상임을 확인할 수 있는 것이다.

그리고 이러한 현상이 나타나는 이유는 우리가 이미 공부한 바와 같이 사회나 자연에 존재하는 자원들은 어떤 특정한 재화를 생산하는데 적합하다. 이러한 자원 모두를 하나의 재화생산에만 투입한다면 비효율적인 자원운용과 소비로 인해 생산에 대한 기회비용이 커지기 때문이다. 한가지 가정을 해본다면 한 사회가 석탄의 생산에만 모든 자원을 투자하기로 결정한다면 부족한 노동력을 메우기 위해 의사들이 안전모를 쓰고 석탄채굴을 하게 될 수도 있다는 것이다. 이로 인한 인적자원의 투입이 얼마나 큰 비효율성을 낳게 되는가는 불을 보는 뻔한 일이다.

2. 어떤 것을 선택한다는 것은 다른 대안들을 포기한다는 것을 뜻한다. 따라서 선택에는 다른 대안(기회)을 포기하는데 따르는 비용을 부담하게 되며, 이것이 바로 선택에 따르는 기회비용인 것이다. 하지만 대안 모두가 기회비용이 될 수는 없으며, 포기하게 되는 대안 가운데 가장 가치 있는 것(가장 큰 만족을 줄 수 있는 것)만이 그 기회비용이 된다. 이 점은 선택한 활동대신 다른 대안을 선택하게 되더라도 시간의 제약으로 대안 중 하나의 활동만을 할 수 있기 때문이다. 따라서 주말 내내 컴퓨터 게임을 즐기는데 따르는 기회비용은 나에게 컴퓨터 게임 다음으로 큰 만족을 줄 수 있는 스키여행을 가는 것이다. 물론 장기적 안목을 가진 사람이라면 중간고사를 위해 공부하지 않는 것이 더 큰 기회비용을 초래할 수 있다고 생각할 것이다. 하지만 우리들에게 이번 주말이 그 동안 열심히 공부한 상황에서 주어진 것이라면 우리에겐 재충전의 시간이 필요할 것이다. 따라서 이런 상황이라면 공부를 하는 것이 오히려 더 큰 비용(건강을 해치게 됨으로써 발생하는 병원비등)을 초래하는 일이 될 것이다. 문제에서도 이러한 점이 반영되어 대안의 순서가 정해졌을 것이다.

3.생산가능성곡선(PPF)이란 한 사회의 자원과 기술이 주어져 있을 때 그 사회가 모든 자원을

                 (a)                                               (b)                                          

효율적으로 사용하여 생산할 수 있는 두 생산물의 여러 가지 조합을 나타낸다. 따라서 위와 같이 생산가능곡선이 바깥쪽으로(점A→점B) 이동하기 위해서는 자원의 증가나 기술의 진보가 필요하게 된다. (현 상태에서(A점) 모든 자원과 기술이 효율적으로 사용되고 있다는 점을 기억하라!) 문제로 돌아와 새로운 암 치료법의 발견(기술혁신)은 앞서 말한 바와 같이 그래프를 바깥쪽으로 이동 시킬 수 있으며, 이는 (b)그래프와 같다. 그래프에서 볼 수 있듯이 암 치료법의 발견은 다른 모든 재화의 생산량을 줄이지 않고도 목숨을 건진 위급환자의 수를 증가시키며, 그래프를 오른쪽으로 이동시키게 된다. (점A`→점B`) 즉, 암 치료법의 발견은 다른 재화의 생산에 기여하던 자원의 지원 없이도 더 많은 위급환자의 목숨을 구하게 되는 것이다. 하지만 더욱 중요한 점은 이러한 기술혁신이 다른 재화의 생산량 증대에도 영향을 준다는 점이다. 이는 점A`→점B` 로의 이동에 나타난다. 이러한 이동이 가능한 것은 증가된 생명을 구하는데 쓰이는 자원의 일부분을 다른 재화의 생산으로 이동시킬 수 있다는 점 때문이다. 결국 기술 혁신은 이로 인해 직접적 영향을 받는 산업뿐 아니라 사회내의 모든 산업부문에 걸쳐 긍정적 영향을 미치는 것이다. 

4. 이 문제의 기본적 물음은 위의 3번 문제와 동일하며, 단지 기술혁신이 일어난 부문이 수평축(목숨을 건진 위급한 환자의 수)이 아닌 수직축(다른 모든 재화의 수량)이란 점이다.

따라서 그래프는 다음과 같을 것이다. 

 

5.(a)                                                                  

열매한컵 물고기 한마리

매리앤 1/2 시간 1 시간

길리언 1/2 시간 1/4 시간

 

(b)이제 매리앤과 길리언의 열매채집과 물고기 잡이에 대한 기회비용을 계산해 봄으로써 두 사람의 비교우위를 알아보도록 하자.

매리앤: 1마리의 물고기 잡이에 대한 기회비용 = 열매 2컵

    길리언: 1마리의 물고기 잡이에 대한 기회비용 = 열매 1/2컵

     

매리앤: 열매 1컵에 대한 기회비용 = 물고기 1/2마리

    길리언: 열매 1컵에 대한 기회비용 = 물고기 2마리 

각 활동에 대한 기회비용을 계산한 결과 우리는 매리앤이 열매에 대해 그리고 길리언은 물고기 잡이에 대해 비교우위가 있음을 알 수 있게 되었다. 결국 두 표류자가 서로를 발견하게 되었을 때 둘은 이러한 비교우위의 결과를 통해 일을 분담하게 될 것이며, 위의 계산이 보여주듯 매리앤은 열매채집에 길리언은 물고기 잡이에 특화하게 될 것이다. 

(c) 길리건이 새로운 능력을 얻음으로써 두 명의 표류자는 어떠한 이익을 얻게 되는가를 총산출의 변화량을 통해 알아보자. 먼저 가정해 둘 것은 길리건이 새로운 능력을 얻게 된 전(前)과 후(後) 모두 서로가 비교우위에 있는 한가지의 일에 특화 했다는 것이며, 노동시간은 종전과 현재 모두 6시간으로 같다고 하자.

 (i)길리건이 새로운 능력을 얻기 전의 총 산출량  (매리앤:물고기잡이, 길리건:열매채집)

    ㄱ.물고기 잡이: 6마리 (매리앤)

    ㄴ.열매 채집  : 3컵   (길리건)

 (ii)길리건이 새로운 능력을 얻게 된 후의 총 산출량 (매리앤:열매채집,길리건:물고기 잡이)    

    ㄱ.물고기 잡이: 24마리(길리건)

    ㄴ.열매 채집  : 12컵  (매리앤)

위의 총 산출량 변화와 같이 길리건의 새로운 능력은 총 산출량을 증대시키는데 큰 역할을 하게 되었다. 이러한 능력향상은 길리건 자신의 생산량 증대 뿐만 아니라 매리앤을 더 나은 분야(열매채집)로 특화 하게 함으로써 둘 모두에게 이익이 될 수 있는 생산능력의 증대를 이룬 것이다.

(만약 문제가 비교우위를 통한 생산력증대가 구체적으로 어떻게 이루어졌는가를 묻고 있는 것이라면 다음과 같이 증명될 것이다. 하루 노동시간을 6시간으로 볼 것이며, 종전의 노동은 물고기 잡이에 3시간 열매채집에 3시간을 투자하는 형태였다고 보겠다. )

    ㄱ. 종전 물고기 잡이의 총 생산량= 3마리(매리앤)+12마리(길리건)= 18마리

    ㄴ. 종전 열매 채집의 총 생산량  = 6컵 (매리앤)+6컵(길리건)=12컵     

이제 각각의 활동에 특화 하였으므로 각자가 맡은 일에 6시간을 투자 할 것이다.

    ㄱ. 물고기 잡이의 총 생산량 = 24마리 (길리건)

    ㄴ. 열매 채집의 총 생산량 = 12컵 (매리앤)

결국 길리건의 능력향상과 함께 이루어진 새로운 업무분담은 종전보다 물고기의 생산량을 6마리나 증가시키는 결과를 가져오게 된 것이다.

6. (a)

파인애플 코코넛

Mr. Howell 1 시간 1 시간

Mrs. Howell 1/2 시간 2 시간

(b) Mr.  Howell : 1개의 파인애플을 따는데 드는 기회비용 = 코코넛 1개

    Mrs. Howell : 1개의 파인애플을 따는데 드는 기회비용 = 코코넛 1/4개

    

Mr.  Howell : 1개의 코코넛을 따는데 드는 기회비용 = 파인애플 1개

    Mrs. Howell : 1개의 코코넛을 따는데 드는 기회비용 = 파인애플 4개

:위에서 나타난 바와 같이 Mr. Howell은 코코넛을 따는데 있어 Mrs. Howell은 파인애플을 따는데 있어 서로에 대해 비교 우위를 갖게 된다. 따라서 Mr. Howell은 코코넛을 Mrs. Howell은 파인애플을 채집하는데 특화 함으로써 비교우위로부터 얻을 수 있는 이익을 공유할 수 있을 것이다.

(c)이제 Mr. Howell과 Mrs. Howell은 서로가 어떤 활동에 비교우위를 갖는지 알게 되었다.

이를 통해 둘은 하나의 일에만 전념하게 되었으며, 각자가 일할 때 얻을 수 있었던 총 생산량보다 더 큰 산출을 이루어 낼 수 있다. 그리고 이러한 점은 아래의 식에서 보다 구체적으로 드러난다. 

      

    Mr. Howell  :  파인애플 -6  → 코코넛 +12

          Mrs. Howell :  파인애플 +24 → 코코넛 -3

먼저 Mr. Howell은 종전에 파인애플을 따기 위해 소비하던 6시간을 코코넛 채집에 모두 소비하게 되었다. 따라서 이제는 코코넛 채집에 12시간을 소비함으로써 12개까지 채집할 수 있게 되었다. 반면 Mrs. Howell은 코코넛 채집에 소비하던 6시간을 모두 파인애플을 채집하는데 사용하게 되었다. 이로써 그녀는 24개의 파인애플을 생산할 수 있게 되었다. 이제 비교우위에 따른 특화 이후 두 사람의 총생산량이 얼마나 크게 증대 되었는지 살펴보자.

      A. 종전의 파인애플 총 생산량= 6개 (Mr. Howell) + 12개 (Mrs. Howell) =18개       

         특화후 파인애플 총 생산량= 24개 (Mrs. Howell)

      B. 종전의 코코넛   총 생산량= 6개 (Mr. Howell)+ 3개 (Mrs. Howell) = 9개

         특화후 코코넛   총 생산량= 12개 (Mr. Howell)  

결국 우리는 비교우위에 의한 특화가 총 생산량의 증대에 얼마나 큰 힘을 발휘할 수 있는가를 위와 같은 단순한 예를 통해 알 수 있는 것이다. 그리고 이러한 점은 오늘날 수많은 직업들이 존재하게 된 근본적 이유가 될 것이다.

7. (a)

논문요약(1편당) 타이핑(1페이지당)

나 2 시간 3/5 시간

친구 6 시간 6/5 시간

: 위에서 표에 나타나듯이 논문요약과 타이핑 속도에 있어 나는 친구보다 더 빠르게 일을 수행할 수 있다. 따라서 내 자신이 두 가지 일 모두에서 절대 우위를 지니고 있다.

(b) 나 : 1편의 논문을 요약하는데 드는 기회비용= 2 /(3/5) =10/3 =3시간 18분

친구 : 1편의 논문을 요약하는데 드는 기회비용= 6 /(6/5) =30/6 =5시간

  나 : 1페이지를 타이핑 하는데 드는 기회비용=(3/5)/ 2 =3/10 =18분

 친구: 1페이지를 타이핑 하는데 드는 기회비용=(6/5)/ 6 =6/30 = 12분

:나와 내친구가 논문요약과 타이핑에 대해 갖는 기회비용을 고려할 때 나는 논문을 요약하는 것이 더 나을 것이며, 친구는 타이핑을 하는 것이 나을 것이다. 즉, 나는 논문요약에 대해 비교우위가 있으며, 친구는 타이핑에 비교 우위가 있는 것이다. 

(c) 앞서 말한 바와 같이 나는 논문요약에 친구는 타이핑 작업에 특화 해야 할 것이다.

<8번 문제와 9번 문제: 책 본문에는 (표2-1)에 들어있는 비용 중 기숙사와 식비, 교통비와 기타비용을 대학진학에 대한 기회비용으로 보고 있지 않다. 따라서 문제를 푸는데 있어서도 이를 비용으로 보지 않고 문제를 풀 것이다.>  

8. (a) 우선 우리는 기회비용이 명시적 비용과 잠재적 비용으로 구성된다는 점을 숙지해야

할 것이며, 이러한 기회비용의 두 가지 요소를 포함해 기회비용을 계산할 것이다.

 $4,694 (등록금과 각종요금)+$817 (책과 필수품)

+$17,250(대학진학을 포기했을 경우 벌 수 있는 소득) = $22,761

(b) $817 (책과 필수품)

+$17,250(대학진학을 포기했을 경우 벌 수 있는 소득) =$18,067

(c) $4,694 (등록금과 각종요금)+$817 (책과 필수품)

                    +$17,250(대학진학을 포기했을 경우 벌 수 있는 소득

                           -$1080 (학교를 다니는 9개월간 벌어들인 소득) =$20,864

9. (a) 2년제 공립대학 : $1,905(등록금과 각종요금)+$745(책과 필수품)

+$17,250(대학진학을 포기했을 경우 벌 수 있는 소득= $19,900

      4년제 공립대학 :$4,694(등록금과 각종요금)+$817(책과 필수품)

+$17,250(대학진학을 포기했을 경우 벌 수 있는 소득= $22,761

      4년제 사립대학 :$19,710(등록금과 각종요금)+$843(책과 필수품)

+$17,250(대학진학을 포기했을 경우 벌 수 있는 소득 = $37,803

(b). (a)번 문제에서 총비용 속에 포함되어 있던 등록금과 각종요금을 총비용에서 차감한 후 

각 학교의 진학에 대한 기회비용을 계산하면 아래와 같다.  

       

2년제 공립대학 : [$745(책과 필수품)+$17,250(대학진학을 포기했을 경우 벌 수 있는 소득)]*2=$35,990

        4년제 공립대학 : [$817(책과 필수품)+$17,250(대학진학을 포기했을 경우 벌 수 있는 소득)]*4=$72,268

        4년제 사립대학 : [$843(책과 필수품)+$17,250(대학진학을 포기했을 경우 벌 수 있는 소득)]*4=$72,372

카일리에게 제공되는 장학금의 크기만을 고려해 보았을 때 가장 큰 장학금을 제공하게 되는

대학은 4년제 사립대학이다. (물론 가장 적은 장학금을 제공하는 대학은 2년제 공립대학이

다.) 그러나 카일리가 이러한 장학금을 거부하게 되는 이유는 4년제 사립대학이 많은 장학

금을 제공한다 하더라도 카일리에게 있어 4년제 사립대학은 여전히 대학진학에 대한 기회

비용이 가장 큰 대학이기 때문이다. 물론 카일리에게 있어 사립대학에서 공부하는 것이 시

설과 교수진 면에서 더 나은 환경을 제공할 것이며, 2년이란 시간보다는 4년이란 시간 동안 

더 깊고 폭넓은 배움을 선사할 것이다. 하지만 문제에서는 이러한 조건들을 제외하고 기회

비용만을 고려했을 경우로 한정시키고 있으므로 카일리가 기회비용이 가장 적은 2년제 대

학을 택하게 될 것임은 자명하다.

(c) 앞서 말한 바와 같이 4년제 사립대학은 재정적으로 타 대학들보다 안정되어 있다. 이러

한 점이 중요한 이유를 두 가지 정도만 들어 보겠다. 그 첫 번째는 교육의 질적 수준을 좌

우 하게 되는 일차적 요인인 수준 높은 교수진에 있다. 사실 교수는 대학에서 학생들에게 

가르침을 주는 스승이다. 하지만 그 이전에 교수는 자신의 분야에서 연구를 지속적으로 하

고자 하는 학자이다. 따라서 많은 교수들은 자신의 연구에 연구비를 충분히 제공해 줄 수 

있는 일터를 원하며, 사립대학의 건실한 재정은 이를 가능케 해준다. 결국 재정적으로 안정

되어 있는 대학들은 저명한 학자들을 자신들의 학교 강단에 서게 할 수 있는 것이며, 이는

카일리의 선택에 중요한 영향을 미치게 되는 것이다. 두 번째는 공부를 하는데 있어 쾌적한 

환경을 제공한다는데 있다. 이 또한 카일리에게 중요한 대학 선택의 요소이며, 많은 사립대

학들은 공립대학 보다 쾌적한 교육시설을 보유하고 있다. 이외에도 카일리가 사립대학을 선

택하게 되는 요인들은 많이 있을 것이다.

4년제 사립대학이 우수 학생인 카일리를 자신의 대학에 입학시키기 위해서는 카일리가 갖

고 있는 대학진학에 대한 기회비용을 2년제 대학수준으로 낮추는 것이 확실한 방법일 것이

다. 이는 더 많은 금전적 지원(추가적인 장학금 지급)을 통해서도 가능하지만 카일리가 갖

게 되는 비금전적 요인(교수진, 교육환경, 졸업후의 취업률)들이 영향을 미치기도 한다. 만

약 이러한 비금전적 요인들이 $36,382이상의 가치(4년제 사립대학과 2년제 공립 대학의 차

이)를 가진다면 카일리는 4년제 사립대학을 택하게 될 것이다.                          

계량경제학 - 계량경제학의 개요 - 실증경제학의 체계 제 1 장 회귀분석의 성격 제 2 장 2-변수 회귀분석 - Digression 제 3 장 통상최소자승법(OLS) 제 4 장 정규분포의 가정 제 5 장 구간추정과 가설검정 <- 회귀분석의 실제 예제 계량경제학의 개요 계량경제학(Econometrics)의 어원 : 경제의 측정, 개념적으로 정의되는 변수에 대하여 실제 량을 측정해봄 economy + measure 예) 경제자료의 측정예 개 념 이 론 측 정 국민소득(GNP) Y 386조 6,404억원 (’96년) 저 축 률 S 0.346 총 통 화 178조 3,116억원 (’97년) 변수사이의 관계 : 변수들 간의 상호연관 관계(양의 관계인지, 음의 관계인지, 불확정 관계인지 판단해보자) 예) 아버지와 아들의 키, 기온과 에어컨 가동률 가격과 수요량 혹은 공급량 소득과 소비 광고비와 판매량 이자율과 저축 및 투자 공부한 시간과 학점 etc. 데이트 상대 수와 용돈의 지출 경제이론은 변수, 특히 경제변수들 간의 관계를 파악하는데 치중한다. 이론모형과 계량모형 이론모형은 개념적으로 정의된 변수의 상호 관계를 implicit function, 혹은 explicit function으로 표시하는데 치중함으로써 이론에만 그칠 뿐 현실적으로 사용하는데는 한계가 있음. 예) 수요곡선의 이론 (law of demand) i) 수요곡선이 우하향 ⇒ 가격 ↓, 수요량 ↑하는 관계를 암시 ii) 기울기의 정도 ⇒ 관계가 어느정도로 sensitive한가? iii) 곡선의 곡률 ⇒ 구간별 탄력성의 정도를 표시 그러나 계량모형은 구체적인 함수의 형태와 파라메터(모수)를 추정해 내려는 작업 예) ?? 즉, 이론모형이 로 주어졌을 때 구체적인 과 의 parameter 값을 통계자료로부터 추정해 내는데 치중하는 모형을 의미함. 이론모형이 두 변수간의 확정적인 관계를 나타내는 반면 계량모형은 오차항()이 부여됨. 왜냐하면 해당 자료의 실제 관계는 관찰치에 따라 서로 다르기 때문임.(확률적 관계) 예) 자료의 종류 ?time series(시계열 자료) ?cross section(횡단면 자료) ?pooled data (panel data) 예)소득자료의 정리 개인 1 개인 2 ... 개인 20 1993 1994 1995 1996 cross section time series panel data 실증경제학의 체계 (처음으로) 개요 및 절차 (1) 이론의 서술: the law of demand : 가격이 올라가면 수요는 줄어들고 가격이 내려가면 수요는 늘어난다. 즉 가격과 수요량은 음의 관계를 가진다. (2) 수학적 모형: : 가격과 수요량간의 일차함수 관계를 상정하고 구체적인 파라메터는 모르는 상태에서 이론을 전개 (3) 계량모형: : 수학적 모형에서와 같이 함수관계를 설정하는데 확률적 개념을 도입하여 오차항을 포함한 모형의 설정(data를 이용하여 파라메터를 추정할 수 있음을 암시 (4) 자료의 수집 모형을 추정하기 적당한 자료를 현실 통계자료로부터 수집 (5) 파라메터 추정: : 계량경제학적인 추정방법을 통하여 파라메터의 구체적인 값을 추정 (6) 가설의 검정: : 이론을 통계적 추론을 통하여 검정 (7) Forecasting: P = 4.5일 때 Q 는 얼마이가? : 추정된 파라메터의 값을 사용하여 가격이 주어졌을 때 수요량을 예측할 수 있음 하나씩 자세히 알아보자 (1) 이론의 서술 law of demand : 다른 조건이 일정할 때 (ceteris paribus) 상품의 가격이 오르면 구매자들도 상품을 적게 살려고 하고, 반대로 가격이 내리면 많이 살려고 한다. 가격과 수요에 관한 경제이론은 두 변수간의 음의 관계를 설정 (2) 수학적 모형 : 우하향하는 수요곡선 (가격과 수요의 반비례 관계) linear nonlinear 두 변수의 관계가 linear 로 가정하면 다음의 관계가 성립되고 : 선형수요함수 : intercept parameter : 기울기 : dependent (종속변수, 피설명변수) : independent (독립변수, 설명변수) 모형은 두 변수의 관계에 대한 just qualitative statement가 된다. 이때 선형이 아니라 비선형임을 가정하면 모형의 설정은 더욱 복잡하게 되는데 이는 함수의 구체적인 형태를 모르면 기술적으로 매우 어렵다. (3) 계량모형의 관계는 수학적 모형과 달리 다음과 같은 특성이 서로 다르게 된다. exact inexact deterministic ⇒ statistical relationship relationship : ramdom error term (오차항) 실제 data의 산포도 (scattergram) 계량모형은 현실 data에서 개연성이 매우 높은 확률적 statement를 의미한다.1 (4) 자료의 수집 ?time - series (daily, weekly, monthly, yearly, 5 yearly …) 경제통계연보, 조사통계월보 등과 같은 통계집과 internet망을 통하여 구할 수 있음. 시간에 따른 변화를 모형화 하는데 주로 사용된다. ?cross - section (개인, 가구별, 개별기업, 개별국가, …) survey등의 기법을 통하여 조사하여 개인, 기업 등의 자료를 직접 구하거나 각국의 자료를 UN, OECD 등의 자료로부터 구하여 모음. 개별 의사결정주체들의 행위를 분석하는데 주로 사용된다. ?panel data (pooling) 시계열자료와 횡단면 자료를 동시에 구할 수 있는 경우로써 개별의사결정 주체들의 시간에 따른 변화를 모형화하는데 사용된다. (5) 파라메터의 추정 설정된 계량모형의 파라메터()를 추정하면 이를 기초로 함수의 구체적인 형태를 알아낼 수 있게 된다. (6) 가설의 검정 경제이론에 따라 다양한 가설을 설정할 수 있다. 예를 들면 등과 같다. ： ： 이 모형과 관련된 다양한 가설들을 통계적 추론 절차에 따라 가설의 채택 및 기각여부를 검정할 수 있음. (7) forecasting (예측) 추정된 계량모형을 기초로 현실경제에서 자연과학의 실험과 같은 모의분석이나 예측을 할 수 있음. 예를 들면 ?만일 P=4.5 이면 Q는 얼마나 demand 하는가? ?공급이 50으로 고정되어 수요량을 맞출 수 없다면 가격은 얼마가 되어야 하는가? 등과 같은 여러 가지 실험이나 모의분석, 미래에 대한 예측을 할 수 있다. 제 1 장 회귀분석의 성격 (처음으로) 1. 회귀분석의(regression analysis)의 성격 회귀분석 용어의 원천과 정의 Galton은 당시의 논문에서 키가 큰 부모의 아이들이 키가 크고 키가 작은 부모의 아이들은 키가 작다는 사실을 통계적인 방법을 통하여 밝혔다. 그러나 일정한 키의 부모에게서 태어나 아이들의 평균신장은 전체 인구의 평균신장을 향해 회귀하는 경향이 있음을 밝힌 데서 출발했다. 그러나, 현대적 해석은 다음과 같다. “회귀분석이란 한 변수, 즉 종속변수가 하나 이상의 다른 변수, 즉 설명변수에 어떻게 의존하고 있는가를 분석” ?회귀분석을 상정할 수 있는 여러 가지 상황을 예로 들어보자. 예-1) 아버지의 신장과 아들의 신장 예-2) 연령과 신장 예-3) 개인소비지출과 가처분소득 예-4) 독점기업의 가격과 수요의 반응 예-5) 화폐임금 변화률과 실업률 예-6) 광고지출과 상품수요 예-7) 농작물수확과 (기온/강우량/일조량/비옥도) : multi variables relationship 통계적 관계와 확정적 관계 ?확정적 관계 : 반지름과 원의 넓이 월일과 낮의 길이 ?통계적 관계 : 위의 예1～7 계량경제학은 확정적 관계보다는 통계적 관계에 관심을 둔다. 변수간의 통계적 관계가 있음에는 분명하지만 확률변수(random variable)의 개입으로 불확실, 비결정적인 요소를 갖고 있다. 용어의 대비 종속변수(dependent variable) 독립변수(independent variable) 피설명변수(Explained variable) 설명변수(Explainatory variable) 예측된변수(Predictand) 예측변수(predictor) 피회귀변수(regressand) 회귀변수(regressor) 반응변수(respouse) 통제변수(control variable) 내생변수(endogenous) 외생변수(exogenous) C-S T-S 자료의 종류와 하첨자 ?시계열 자료 (time-series data): 하첨자 사용; 로 표시 ?횡단면 자료 (cross-sectional data): 하첨자 사용; 로 표시 ?패널 자료 (panel data) : 하첨자 사용; 로 표시 제 2 장 2-변수 회귀분석: 기본개념 (처음으로) : 회귀분석에서 가장 단순한 형태인 2-변수 모형에 대하여 설명 1. 모집단 회귀함수(Population Regression Function ; PRF)의 개념 예) 소비함수 모집단 전체가 60명인 경우 이들의 소득과 소비지출의 자료를 수집하여 분석하는 경우를 상정해 보자. scattergram을 그려보면 다음과 같다고 하자. 그림설명 ?같은 소득수준의 가계의 경우 소비지출에 크고 작은 차이는 있지만 소득이 증가할수록 소비지출도 평균적으로 증가하고 있음이 쉽게 관찰된다. 즉 소득이 증가함에 따라 소득이 주어졌다는 전제하에서 소비의 조건부 평균값이 증가하고 있음을 보이고 있다. ?이러한 경향을 표시해주는 선이 모집단 회귀함수(Population Regression Function: PRF)이다. 그림에서 각 점은 모집단에 대한 실제 관찰치를 표시한 것이고, PRF선상의 점은 소득이 어떤 값으로 주어졌을 때의 소비의 조건부 평균값을 의미한다. 모집단 회귀함수의 개념 ?모집단 회귀함수를 수식으로 표시하면 다음과 같다. 의미 : 가 주어졌을 때 를 조건으로 하는 는 의 함수이다. ?함수의 형태를 선형(linear)라고 가정한다면 explicit form으로 나타낼 수 있다. : 선형모집단 회귀 : 절편 : 기울기 ........ 이들을 회귀계수(Regression Coefficient) 혹은 모수(parameters)라고 한다. ⇒ 회귀분석이란 모집단 회귀함수를 추정하는 것인데, 이는 Y와 X에 관한 자료를 가지고 과 의 값을 추정하는 것이다. 선형(Linear)의 의미 계량모형에서 선형의 의미는 두 가지로 구분된다. 변수에 대한 선형과 모수에 대한 선형으로 나뉜다. ?변수에 관한 선형 선 형 비선형 ?모수에 관한 선형 선 형 선 형 선 형 비선형 : 난이도가 매우 높은 계량모형이 됨. 2. PRF의 확률적 성격 위의 예로 들은 소비함수에서 가계소득의 증가는 가계소비의 증가를 의미하는 관계임을 암시하고 있다. 하지만 실제의 data를 관찰해보면 정확하게 함수적인 대응관계가 아니라 다만 조건부 기대치 주위에 모여있음을 알 수 있다. 이를 이해하기 위해서는 확률적인 공간에서 해석이 필요하게 된다. 편차(deviation) ?편차는 가 조건부 기대치로부터 떨어져 있는 거리 ( 로 표시) ?PRF와 관찰치간의 수직거리를 나타내는 는 확률변수(random variable)가 된다. 따라서 양의 값, 음의 값 모두를 가질수 있으며, 관찰치 각각에 대하여 n개의 를 가지게 된다.(i=1,2,...n) ?는 확률적교란항 (stochastic disturbances) 혹은 확률적오차(stochastic error term)라고 부르는데 다음과 같은 구조를 갖는다. : 관찰된 자료 (소비) : 가 주어졌을 때 의 기대치이며 체계적, 확정적 요소라고 할 수 있다. : 교란항으로써 확률적, 비체계적 요소, 우연적 요소라고 할 수 있다. 소득이외에 소비에 영향을 주는 요소 (가격, 기온, 기후 등…) 예) 소비함수를 다음과 같다고 할 때 소득( )가 80일 때 소비( )가 55인 가구와 85인 가구가 있다면 가구 1 : 가구 2 : 가 된다. 확률적 교란항의 중요성 소비는 소득의 함수이라는 경제이론에 대하여 계량모형을 설정할 때 는 모형에서 생략되었으나, 에 영향을 주는 모든 변수들을 대신하고 있다고 할 수 있다. 계량모형이 현실에서 존재하는 모든 요인을 완전히 고려할 수 있으면 확률적 교란항은 필요가 없다. 그러나 다음등의 이유로 모든 변수를 다 포함하는 완전모형은 존재하지 않거나, 존재하더라도 가능하지 않다. ?계량모형이 모든 변수를 다 포함하지 못하는 이유 ⅰ) 이론의 불완전성 ⅱ) 자료확보의 어려움 ⅲ) 비체계적이거나 무작위적인 주변변수는 영향력이 미미하므로 핵심변수들로만 모형을 구성 ⅳ) 인간행위의 무작위성 ⅴ) 측정오류 ⅵ) 절약성의 원칙 ⅶ) 함수형태의 오류 3. 표본 회귀 함수 (Sample Regression Funtion : SRF) 모집단 회귀 → 표본집단 회귀 (PRF) (SRF) ?개념 : 모든 모집단의 자료를 다 조사하는 것은 불가능한 경우가 대부분이고 가능하더라도 시간과 비용이 매우 많이 든다. 따라서 다음의 도식과 같은 추측통계학의 논리체계에 따라 분석하게 된다. 모집단 모수 ? ? 표본 ? 통계량 ?PRF를 추정한 모집단 전체에서 일부를 표본으로 두 개 추출하는 경우 두 개의 서로 다를 개연성이 있는 SRF가 존재할 수 있다. 뿐만아니라 n개의 표본을 추출하게 되면 n개의 SRF가 존재할 수 있다. 우리는 우리가 추출한 표본에 기초하여 모집단의 모수를 추정하는데 추측통계학의 기법을 이용하게 된다. (일상생활에서의 예를 생각해보자) ?PRF 와 SRF PRF : SRF : : 의 추정량 : 의 추정량 : 의 추정량 추출된 포본에서 계산되는 추정량 또는 표본통계량으로부터의 정보를 사용하여 모집단의 모수를 추정하는 과정을 의미한다. ?다른 표기 방법 PRF : SRF : : 잔차항 (residual term) 은 의 추정치 ?회귀분석은 SRF를 기초로 하여 모집단의 PRF를 추정하는 과정이다. 왜냐하면 모든 통계자료는 모집단에 대한 하나의 표본에 불과하기 때문이다. 모집단의 회귀함수인 PRF와 표본에 기초하여 추정된 SRF가 서로 다른 점을 매우 과장하여 그리면 다음과 같다. ?notation ?그림에서는 A점보다 우측은 과대추정 () 좌측은 과소추정 () 4. further study ?실제 자료에서 SRF를 어떻게 찾을 것인가? (3장 회귀모형의 추정) ?SRF를 찾아낸다면 찾아낸 SRF가 우리가 알고자 하는 PRF와 일치하는가를 어떻게 알 수 있는가? (4장 계량모형의 통계적 추론) digression: 합셈, 곱셈 연산자와 기대치 및 분산 정리 (처음으로) 1. 합셈연산자: definition: properties ? ? ? ? 2. 곱셈연산자: definition: properties ? ? 3. 기대치: definition: properties ? ? ? ? but ? ? 4. 분산 : definition: ? ? ? ? ? ? 제 3 장 통상최소자승법(Ordinay least squares ; OLS) (처음으로) 1.통상최소자승법 (Gauss) 수집된 자료로부터 SRF를 구하기 위하여 변수들간의 관계를 나타내는 모수를 찾아내는 가장 보편적인 방법 PRF와 SRF ?PRF와 SRF는 다음과 같이 표시된다. PRF : SRF : ?우리가 모을 수 있는 자료는 모집단이 아니라 표본이기 때문에 표본을 사용하여 SRF를 찾아내고, 이를 기초로 진정한 PRF를 추정해내야 한다. 그러면 - 어떻게 PRF를 추정해 낼 것인가?(3장) - 이렇게 추정된 PRF가 진정한 PRF를 잘 추정해낸 것인지 어떻게 알 수 있는가?(4장) 최소자승법 ?SRF를 결정하는 과정이 최소자승법이다. 이를 자세히 살펴보면 다음과 같다. 잔차는 다음과 같이 표시된다. ?? 잔차 은 Y의 실제값과 Y의 추정치와의 차이를 의미 그림에서 각 잔차 의 거리의 합이 최소가 되는 함수를 찾으면 그 함수가 각 점들을 가장 대표하는 값이 된다. 이 점을 찾기 위하여 최소자승 기준이 필요하다. 최소자승 기준이라함은 위의 그림에서 각 의 자승의 합을 최소화 하는 을 찾는 과정을 말한다, 즉 minimise ?왜 자승인가?: 자승을 하지 않으면 이기 때문이다. 최소자승법 : How to minimise think about min … 정규방정식 (normal equation) 여기서 과 은 unknown 에 를 곱하고, 에 을 곱하면 을 하면 에서 와 에서 우리는 , , , , 을 계산하면 과 을 구할 수 있게된다. 이것이 최소자승 추정량 (OLS 추정량)이다. 예) 전산실습 1에서 추정한 자료와 추정결과가 어떤 과정을 거쳐 생산되었는지 알아보자. 판매량(SALES:)과 광고량(AD:) data 가 다음과 같다. 연도(관찰치 번호) 1991 163 173 28199 29929 1995 178 221 39338 48841 1996 212 200 42400 40000 1997 202 240 48480 57600 1998 224 227 50848 51529 계 979 1,061 209,265 227,899 이를 최소자승법으로 구한 의 공식에 대입하면 다음과 같다. 따라서 추정결과는 다음과 같이 정리된다. OLS 추정량의 수치적 특성 ?OLS 추정량은 와 의 관측 가능한 자료로부터 쉽게 추정가능 ?OLS 추정량은 점 추정량이다. ?회귀선의 특성 ① 회귀선은 와 의 표본평균을 통과한다. ② 잔차 의 기대치 즉 평균값은 0이다. : 그림에서 설명 ③ 과 는 서로 독립적이다. 상관관계가 없다. 2. 최소자승법을 위한 가정들 : 최소자승법으로 추정한 이 실제모수값 값에 얼마나 가까운 값인지 통계적으로 추론하기 위해서는, 와 의 특성에 관한 가정을 이해해야 한다. : PRF: 에서 는 와 에 의존한다. 따라서 와 에 관한 기본 가정과 통계적 성질을 알아야 에 관한 통계적 추론이 가능하다. 가정 1. 설명변수 는 비확률적 (non stochastic)이다. ?설명변수인 가 비확률적이라는 말은 모형을 다루는 동안 는 고정된 값을 가진다는 의미이다. 는 표본이 설정되는 단계에서 모형 외부에서 주어지는 값임을 의미한다. ?회귀분석이 조건부 회귀임을 상기할 필요가 있다. 즉, 설명변수 의 주어진 값을 조건으로 하는 회귀분석이다. 가정 2. 오차항 의 평균값은 0임 : 일단 의 값이 주어졌을 때, 확률적 오차항 의 기대치는 0이다. ?PRF선상의 점 을 주위로하여 관찰되는 각 점들이 매우 많이 존재한다고 할 때, 이 편차는 양일 수도 있고 음일 수도 있다. 그러나 의 주위에 많이 분포하고 에서 떨어진 곳에는 적게 분포하게 된다. 이 모든 편차를 모두 합하면 0이 되기 때문에 조건부 기대치는 0이 된다. 가정 3. 각 의 분산은 일정하다. 즉 homoscedastic ?각 관찰치마다 존재하는 는 하나의 확률변수이므로 평균과 분산을 가진다. 가정 2에 의해 평균은 0가 되지만 분산을 각기 다를 수도 있다. 가정 3은 이 각각의 가 분산이 모두 같다고 가정한다. - homoscedasticity(동분산성) - hetero scedasticity(이분산성) 가정 4. 두 개의 서로 다른 오차항은 상관관계가 없다. ?각기 다른 i 번째 관찰치와 j 번째 관찰치의 는 서로 상관관계가 없다. 즉, no autocorrelation을 의미한다. positive negative no correlation 위의 4가지 가정은 왜 필요한가? ?지금까지의 진도에서는 위의 가정들이 만족된다고 보고 진행한다. 가정이 만족되어야 최소자승추정법이 타당하게 된다. 그러나 교재의 10장 이후에는 모두 위의 가정들이 만족되지 못하는 경우를 다룬다. 3. 최소자승 추정치의 정확도 또는 표준오차 ?추정량 과 가 얼마나 믿을만 한가를 측정할 척도가 되며, 통계에서는 추정치의 정교함을 추정치와 표준오차(standard error)로 측정한다. 예) 추정치의 정교함을 측정하는 방법이 왜 표준오차인가를 예를 들어보자. 통학시간의 평균이 서로 같은 버스와 지하철이 표준오차가 서로 다르다면 각각의 예정시간 추정치의 정교함은 다를 수 밖에 없다.) ?분산의 정의에 의해 의 분산을 구하면 : 의 분산 이때 로써 각 관찰치의 평균과의 편차를 표시함. ? 의 분산과 표준오차 공식에서 을 제외한 나머지 변수는 등인 모두 자료에서 구해질 수 있다. 여기서 자료로부터 구할 수 없는 값은 뿐이다. ?은 의 분산인데 가 알려져 있지 않기 때문에 대신에 추정치인 을 불가피하게 사용하게 된다. (계수에 대한 검정을 정규분포가 아니라 t 분포를 사용하는 이유가 됨) 추정치 : 의 OLS 추정량 : 자유도 (degree of freedom) : 잔차자승의 합 (Residual sum of Square : RSS) : standard error of the regression : 추정된 회귀선과 Y 값 사이의 standard deviation을 의미 예) 앞의 예를 다시 들어보자. 전산실습 1에서 추정한 자료와 추정결과가 어떤 과정을 거쳐 생산되었는지 알아보자. 판매량(SALES:)과 광고량(AD:) data 가 다음과 같다. 연도(관찰치 번호) 1991 163 173 1536.64 28199 29929 1995 178 221 77.44 39338 48841 1996 212 200 145.84 42400 40000 1997 202 240 772.84 48480 57600 1998 224 227 219.04 50848 51529 계 979 1,061 2,751.8 209,265 227,899 이를 최소자승법으로 구한 의 공식에 대입하면 다음과 같다. 따라서 추정결과는 다음과 같이 정리된다. 이번에는 추정치의 표준오차를 공식을 사용하여 구해보자. 추정결과를 사용해서 구한 actual-fitted-residuals 표를 구하면 다음과 같다. 연도(관찰치 번호) 1991 163 174.154 -11.1538 124.407254 1995 178 200.659 -22.6594 513.4484 1996 212 189.063 22.9368 526.09679 1997 202 211.151 -9.15115 83.7435 1998 224 203.973 20.0274 401.09675 계 979 1648.794 따라서 추정식은 다음과 같이 표현된다. ( )속은 s.e. 4 가우스-마코프 (Gauss-Makov) 정리 ?OLS 추정량 가, OLS 의 가정을 만족할 때, 불편추정량이면서 최소분산을 갖는 BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) 임을 증명하는 중요한 정리이다. OLS의 기본 가정들이 충족될 때 OLS가 다른 어떤 추정법 보다 가장 탁월함을 증명한 정리이다. 5 결정계수 : 적합성의 측정 (goodness of fit) ?추정결과를 해석하는데 필요한 회귀계수와 표준오차를 살펴보았다. 이 절에서는 추정된 회귀선이 관측된 표본에 얼마나 잘 들어맞는가를 측정하는 적합성(goodness of fit)을 살펴보자. ?perfect fit : 실제로 일어나기는 매우 어렵지만 만일 모든 관찰치가 회귀선 상에 놓인 경우를 말하는데 완전한 회귀선이라고 할 수 있다. 일반적인 경우라고 볼 수 없다. ?모든 관찰치는 회귀선으로부터 잔차( )만큼 떨어져 있는데 이를 설명할 수 있는 overall measure 가 필요하다. ⇒ (r-square) : 결정계수 ?회귀선을 다시 상기해 보자. : variation in from its mean value : variation in explained by from its mean value : unexplained or residual variation ?자승화(sum of squares)란 변수를 자승해서 합한 것을 말한다. 에 대한 자승화는 : 자승화의 개념을 위의 variations에 대입해 보면 다음과 같은 개념을 만들 수 있다. 라고 자승합을 구하자 이를 다시 쓰면 : total sum of squares : explained sum of squares : residual sum of squares ?양쪽을 TSS 로 나누면 이때 결정계수 은 다음과 같이 정의된다. 또는 ?결정계수 의 특성은 다음과 같다. ⅰ) 은 non negative ⅱ) ; 완벽한 적합 설명변수는 전혀 설명력이 없음 예) 다시 광고와 판매량의 예로 돌아가자. 연도(관찰치 번호) 1991 163 173 1536.64 1075.84 28199 29929 1995 178 221 77.44 316.84 39338 48841 1996 212 200 145.84 262.44 42400 40000 1997 202 240 772.84 38.44 48480 57600 1998 224 227 219.04 795.24 50848 51529 계 979 1,061 2,751.8 2,488.8 209,265 227,899 ??해석: 투여한 광고액은 총판매량 변화의 33.8%를 설명하고 있다. 제4장 정규분포 가정 : 고전적 정규선형 회귀모형 (처음으로) ?이 장에서는 앞에서 설명한 OLS의 4가지 가정에다가 하나의 가정을 더 첨가한다. 이 가정은 표본의 정보에서 추정된 SRF로 모집단의 PRF를 통계적으로 추론하기 위하여 필요하다. 통계적 추론을 위하여 오차항의 분포에 대한 가정이 필요하다. 가정 5. PRF 에서 오차항 는 평균 0, 분산이 인 정규분포를 따른다. 즉, 왜 이 가정이 필요한가? ?앞장에서 도출한 OLS추정량 은 BLUE 이지만 하나의 점 추정량이다. 이들 점 추정량이 모집단의 모수와 일치하는지 검정하는 일이 필요하다. 즉, 우리가 필요한 것은 을 이용해 모집단의 를 추론해 내는 것이라고 할 수 있다. 다시 말하면 SRF를 사용하여 PRF에 대하여 추론하는 것이다. ?가설검정 ( 에 대한)을 하기 위해서는 교란항 의 확률분포를 규정해야 한다. 왜냐하면 최소자승법으로 구한 은 의 선형결합이므로 은 의 선형결합으로 볼 수 있다. (부록 3H.2) 위의 가정 5는 교란항 의 분포가 정규분포하는 것으로 가정하는 것을 의미한다. 정규분포는 가장 일반적인 교란항의 질서를 대표하는데 큰 무리가 없기 때문에 매우 무난한 가정이라고 할 수 있다. (정규분포가 아닌 경우는 어떤 경우인가?) ?의 의미: 에는 영향을 주지만 모형 내에는 포함되지 않는 변수들은 가 대표하게 되는데 포함되지 않는 변수의 수가 많아지면 정규분포를 따르게 된다. … 중심극한 정리 (central limit theorem) ?정규분포를 가정하는 또 다른 이유는 이 가정 下 에서 OLS 추정량의 분포를 쉽게 유도할 수 있기 때문이다. 1. 정규분포 가정하에서 OLS 추정량의 특성 Gauss - Markov theorem : OLS 추정량이 선형불편 추정량 가운데 가장 분산이 작은 최량 선형 불편 추정량 (Best Linear Unbiased estimators : BLUE)이다. ① 불편 추정량 ② 최소분산 추정량 ③ 일치 추정량 : 표본의 크기가 무한히 커지면 모수값에 접근한다. 의 특성 평균 : 분산 : 정규분포의 특성에 의해 … 표준정규분포 의 특성 평균 : 분산 : 정규분포의 특성에 의해 … 표준정규분포 2. 통계적 추론 review 표준오차(standard error) ?통계적 추정량으로 모수에 대하여 통계적으로 추론하는 것의 정확도는 무엇으로 판단하는가? ?확률변수 : 도박의 사례, 세상에 존재하는 수 많은 확률변수, 대부분의 경제변수 등이 모두 해당하는데, 확률변수는 확률분포를 하고 확률분포에는 반드시 평균과 분산이 있다. ?추정량의 신뢰도를 판단하는 지표로 표준오차를 사용한다. 예) 통학수단으로 전철과 버스가 있다고 하자. 통학시간은 버스와 전철이 공히 평균 30분이 걸린다고 하자. 두 개의 통학수단에 대하여 몇 일간 타보고 통학시간을 관찰한 결과가 다음과 같다.(표본의 추출) 버스 전철 25 29 32 30 21 28 42 33 평균 30 30 분산 254 14 s.e. 15.94 3.74 ??학교까지 걸리는 시간의 추정량은 전철과 버스가 공히 30분이어도 그 신뢰도는 다르다. 버스가 전철에 비하여 s.e.가 크기 때문에 전철의 경우가 신뢰도가 더 크다고 할 수 있다. 정규분포(normal distribution) ?우리는 모집단의 분포를 알 수 없고 단지 표본만을 관찰하기 때문에 모집단의 분포에 대한 가정이 필요하다. 정규분포인지 아닌지, 지수분포인지, 균등분포인지, 감마분포인지,.....알 수가 없다. ?그럼에도 불구하고 정규분포를 가정하는 이유는 대부분의 확률변수가 특별한 사유가 없는 한 정규분포를 한다고 볼 수 있다. 정규분포이외에 특별한 사유가 있는 경우에는 이에 대한 특별한 treatment가 필요하다. ?정규분포는 수학적 성질이 매우 우수하다. 다시말하면 표준화 정규분포를 통해 확률의 계산이 용이하다. 평균과 분산을 알면 모든 분포의 값이 표준화 정규분포를 통해 계산할 수 있다는 장점이 있다. 표준화 정규분포(standardized normal distribution) ?정규분포는 평균과 분산의 크기에 따라 다양한 모양을 갖는다. ?분산은 같은데 평균이 다른 경우 ?평균은 같은데 분산이 서로 다른 경우 ?정규분포만으로는 이들의 확률을 계산하는 일정한 규칙을 찾을 수 없다. 각 분포마다 다른 확률의 면적을 갖는다. 이를 해결하기 위하여 표준화 정규분포로 변환한다. ⇒ 표준화 정규분포로 변환하면 하나의 미리 계산된 표준화 정규분포표에서 확률을 계산할 수 있게 된다. : 평균을 빼서 0을 중심으로 옮기고 분산으로 나누어서 퍼짐성을 1로만듦 3. 정규분포와 관련된 확률분포 : 분포 정리(증명생략) 정리 1 확률변수 이 상호독립적이면서 각각 정규분포를 따른다면 즉 , 확률변수 의 선형결합 도 을 따른다 예) , 이들의 선형결합 는 정리 2 확률변수 이 상호독립적이고, 모두 표준정규분포를 따른다면, , 은 자유도가 인 카이자승 분포를 따르고, 이는 이라 한다. : 독립이고 표준정규분포하는 확률변수의 자승합은 자유도가 더해지는 변수들의 개수를 자유도로 하는 카이자승 분포를 한다. 정리 3 확률변수 이 상호독립적이면서 각각 자유도가 인 카이자승 분포를 따른다면, 도 역시 자유도가 인 카이자승 분포를 따른다. 정리 4 이 표준정규분포를 따르고, 즉 , 다른 확률변수 가 자유도가 인 카이자승 분포를 하며 과 가 독립이라면, 는 자유도가 인 분포를 따른다. 이때 자유도가 무한히 커지면 분포는 표준정규분포에 접근한다. 정리 5 과 서로 독립이고 각각 자유도가 , 인 카이자승분포를 따른다면 는 자유도가 , 인 분포를 따른다. 정리 6 자유도가 인 분포를 따르는 변수의 제곱은 분자의 자유도 , 분모의 자유도 인 분포를 따른다. 즉, 제5장 구간추정과 가설검정 (처음으로) ?최소자승법으로 구한 모수의 추정치의 신뢰도를 검정하는 절차를 다룬다. remind 추정량 과 의 분포 1. 가설검정 가설검정이란? ?전산실습과제 1의 예에서 ?귀무가설(null hypothesis)을 다음과 같이 설정한다. 귀무가설은 일 때 모집단의 모수가 0이라는 가설을 설정하는 것을 말한다. ?귀무가설은 가장 기본이 되는 가설이고 모형의 설정이 합당함을 인정받기 위하여 최우선적으로 검정되어야 하는 가설로써 “변수가 변수에게 아무런 영향을 주지 못하는게 아닌가?(no relationship)”를 질문하는 가설이다. 만일 귀무가설이 성립되면, 더 이상 , 등의 가설은 진행할 필요도 없기 때문이다. 다시 말하면 귀무가설이 성립된다는 것은 모형에서 변수를 포함할 아무런 이유가 없어지고 모형의 수정이 불가피함을 의미한다. ?반대로 대립가설(alternative hypothesis)은 다음과 같다. ?위의 두 가설중 어느 것을 선택하는가? 즉, 귀무가설을 채택할 것인가 기각할 것인가 하는 것은 값의 numerical value로 결정되는 것이 아니라 formal test procedure가 필요하다. 2. 통계적 가설검정의 방법 및 절차 (처음으로) 소득 - 소비의 한 예제 ( 소비, 소득)를 이용, 아래와 같은 결과를 얻었다. (6.4138) (0.0357) t 〓 (3.8128)＋ (14.2605) 이를 이용해서 어떤 이야기를 할수 있을까? How do we test? ?test 방법은 두가지 approaches가 가능하다. 아래의 둘은 동일한 결과를 생산하기 때문에 어느 것을 사용해도 좋으나 첫 번째의 통계량 접근법이 상대적으로 용이하다. ① 의 가설에 대한 통계량 검정법 ② 신뢰구간 접근법 의 분포 ?추정량 의 분포는 다음과 같다. 이 정규분포를 표준화하면 … 표준 정규분포 ?표준정규분포 합이 밝혀졌기 때문에 귀무가설 : 에 대해서 가설검정이 가능해졌지만 하나의 문제가 발생한다. 즉, 우리는 모집단의 의 분산인 을 모른다는 것이다. ?true 를 대신하여 을 사용할 수밖에 없다. 이와 같이 모집단의 분산이 알려져 있지 않고 모집단의 분산 대신 표본의 분산을 사용하는 경우에는 t 분포를 따른다.(Gausset에 의해 증명됨) ⇒ 자유도가 n-2인 t분포를 따름 : t분포를 이용하여 가설검정할 수 있음. 통계량 검정법(t-test) ?통계량(test statistic)을 통한 검정은 귀무가설에 기초한 통계량의 표본분포를 이용하여 검정한다. 검정통계량 t 는 다음과 같다. 만일 귀무가설이 는 특정한 숫자 (예 ) 이면 검정통계량 t는 다음과 같다. 예 1) 이면 (전산실습과제 1에서), 이면 (양측검정) t-table 을 보자 자유도 = n-2=5-2=3 95%신뢰수준 이때 이므로 양측검정을 해보면 는 95%의 임계치 3.18보다 작다. 따라서 우리는 귀무가설 를 기각할 수 없다. 즉 통계적으로 볼 때 이 된다. ⇒ AD는 SALES에 영향을 줄 수 없다는 가설을 기각하지 못함 ⇒ 모형의 설정이 타당하지 못함(새로운 모형의 설정이 필요) ⇒ 왜 그런가? 예 2) 그러나 (소비함수의 추정에 관한 모형)에 대하여 양측검정을 해보자. t-table 을 보자 자유도 = n-2=17-2=15 신뢰수준 95% 이때 는 5% 유의수준의 t 임계치 = 2.131 보다 크기 때문에 우리는 를 기각할 수 있다. ⇒ 소득은 소비에 영향을 줄 수 없다는 귀무가설을 기각할 수 있으며 ⇒ 소득이 소비에 영향을 준다는 대립가설()를 채택 ⇒ 모형의 설정이 타당하다는 의미가 된다. 예 3) 전산실습과제 1에서 이고, 로 설정하여 단측검정 하여보자. : type 1 에러를 범할 확률을 양쪽으로 분산하지 않고, 한쪽으로만 집중 다시 전산실습과제 1로 돌아가자. (여기서는 광고가 판매량에 negative할 것이라고 볼 수는 없기 때문에 오른쪽만 검정) t-table 을 보자 자유도 = n-2=5-2=3 신뢰수준 95% 이때 이므로 단측검정인데 는 5% 유의수준의 t 임계치 = 2.353 보다도 작기 때문에 우리는 를 기각할 수 없다. ⇒ AD는 SALES에 영향을 줄 수없다는 가설을 기각하지 못함 ⇒ 단측검정의 경우에도 모형의 설정이 타당하지 못함 (새로운 모형의 설정이 필요) 그림 설명 예 4) 전산실습과제 2의 소비함수에서 에 대한 가설검정을 양측검정으로 해보자. 귀무가설이 reject 된 전산실습과제 2의 소비함수의 추정에서 구체적인 값을 갖는 가에 대하여 가설검정해보자. t 값이 5%수준의 임계치인 2.131 보다 작으므로 우리는 귀무가설을 reject 할 수 없다. 따라서 를 채택 할 수 있다. 예 5) 예 4의 예를 인지 가설검정하라 ?“reject 할 수 없다”의 의미 표본의 증거를 기초할 때 가설을 reject 할 없다는 의미이지 귀무가설이 정말로 옳은 진실이라고 단언하는 것은 아니다. 법정에서 증거들에 기초해 볼 때 무죄라고 단언 할 수 없지만 “유죄가 아니다” 혹은 “유죄라고 볼 수 있는 증거가 없다”라고 판결하는 것과 같은 논리이다. 신뢰구간 접근법 ?전산실습과제 1로 돌아가서 인데 유의수준 , 양측검정 (∵)을 해보자. : 자유도 3인 t값이 (-3.182, 3.182)의 구간에 있을 확률이 0.95임을 나타냄 ?t값의 정의를 대입하면 or ⇒ 에 대한 95% 신뢰구간을 제공 ?전산실습과제 1의 예를 대입하면 ⇒ 에 대한 95% 신뢰구간 ?귀무가설 는 에 대한 95% 신뢰구간내에 포함되기 때문에 우리는 귀무가설을 기각(reject)할 수 없다. ⇒ AD가 SALES에 영향을 줄 수 없다는 귀무가설 기각할 수 없다. ⇒ 귀무가설이 채택되어 모형에 AD가 의미있는 변수로 포함된 타당성을 입증하지 못함 (과제 1) 의 구간 추정과 를 가설검정하라. (과제 2) 전산실습과제 2를 95%수준에서의 신뢰구간을 구하라. 3. 가설검정의 의미 귀무가설과 2-t 법칙 ① 귀무가설 인 경우이고 ② 자유도가 20이상이며 ③ 유의수준이 0.05라면 t 값의 절대값이 2보다 크면 귀무가설인 를 기각한다. ⇒ 통계적으로 유의한 이론임을 입증 유의수준 α의 선택 계량경제학의 입문단계에서는 1%, 5%, 10% 가운데 5%의 유의수준을 주고 선택 이를 설명하기는 매우 힘듬 - 통계적 의사결정 이론의 이해 연구자의 주관이 개제 정확한 유의수준 P 값 : P값은 귀무가설을 기각할 수 있는 가장 낮은 유의수준, 즉 제1종의 오류를 저지를 확률을 나타냄 ?Computer Output에서 계산된 의 P값이 0.002 하는 의미는 이런 가설검정을 1,000번 했을 때 2번정도 오류를 범할 수 있음을 의미 ?관계 : 추정된 모수에 대하여 s.e. 가 작을수록 - t 값은 클수록 - P 값은 작다. 4. 회귀분석의 결과를 보고하는 형식 소득 - 소비 예제 (6.4138) (0.0357) t 〓 (3.8128)＋ (14.2605)

Part II. 편미분 방정식의 해법 1장 유한차분법 1.1 서론 편미분 방정식은 다음 방정식과 같이 독립변수의 수가 2개 이상인 경우이다. (1.1) 간편하게 미분식을 표현하기 위하여 1계, 2계 미분을 다음과 같이 나타낸다. (1.2) 편미분 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같다. (1.3) 편미분 방정식 계수는 방정식내 가장 계수가 높은 미분항에 의해 결정된다. 변수가 여러개의 독립변수에 의존하는 경우 (), 미분값은 다음과 같은 방향별 미분을 고려한 전미분의 식으로 나타내어야 한다. (1.4) 편미분 방정식은 다음과 같이 계수의 특성에 따라 선형, 반선형, 비선형으로 나누어진다. (1.5) 선형 : a, b, c가 상수이거나 독립변수의 함수인 경우 반선형 : 계수가 가장 높은 미분항 선형인 경우 비선형 : 계수가 종속 변수의 함수인 경우 편미분 방정식은 특성식에 따라 쌍곡형(hyperbolic), 포물형(parabolic), 타원형(elliptic)으로 나누어지며, 이에 따라 수치해의 불안정성과 오차가 발생하는 특성이 다르기 때문에 서로 다른 수치해석 기법을 적용하여야 한다. 특성식과 유한차분법을 이해하기 위해서는 다음과 같이 차분 변수에 기초를 둔 유한 수학과 편미분의 기본 개념에 대한 이해를 필요로 한다. 1.2 유한 수학(finite mathematics)의 개념 차분법을 이해하기 위해서는 미분과 차분의 개념을 정확히 이해하여야 한다. 수치해석에서는 미분식을 차분화된 식으로 해석하는 유한 수학의 원리를 이용한다. 미분식과 차분식의 차이점은 다음의 표에서 알 수 있다. 이 표에서 알 수 있드시 차분식에서는 유한의 개념을 사용한다. 즉, 컴퓨터는 주어진 자료만을 처리하는 계산기이기 때문에 무한이 수를 계산할 수는 없고, 무수히 많은 수를 계산함으로서 근사치를 구하게 된다. 표 1.1 미분식과 차분식의 기본 개념의 차이 미분식 차분식 차분식은 미분식의 근사치를 구하는 것이며 그 오차는 다음과 같은 테일러 급수로서 평가된다. (1.6) 따라서, 위의 표에 제시된 차분식으로 미분식을 평가하는 경우 오차는 다음과 같다. (1.7) 이러한 오차를 절단오차(truncation error)라고 하며, 오차항 중에서 가장 계수가 큰 항이 1계이기 때문에 1계정확(fisrt order correct) 절단오차라 한다. 테일러 급수는 전개 방식에 따라 전방(forward) 테일러 급수, 후방(backward) 테일러 급수 등이 있다. 전후방 테일러 급수를 합치면 다음과 같이 2계 도함수의 차분식을 얻을 수 있으며 오차는 2계 정확 절단오차가 된다. (1.8) 전방 테일러 급수에서 후방 테일러 급수를 빼주면, 다음과 같은 1계도함수의 차분식이 구해지는 데, 오차는 2계 정확 절단오차로서 표보다 오차가 줄어든다. (1.9) 공학 및 자연과학 문제의 대부분의 편미분방정식에서는 2계이상의 도함수는 사용되지 않으므로 다음과 같은 1계 및 2계 도함수에 대한 차분식을 가지고 유한차분법을 수행할 수 있다. 표 1.2 유한차분법에서 많이 사용하는 1계, 2계 도함수의 차분식 1계 정확 (first-order correct) 2계 정확 (second-order correct) 2계 정확 (second-order correct) 수치해석 기법의 정확도 및 계산의 효율에 따라 차분식의 유형을 선택하게 된다. 1.3 편미분 방정식의 분류 편미분 방정식은 특성식에 따라 쌍곡형(hyperbolic), 포물형(parabolic), 타원형(elliptic)으로 나누어진다. 이러한 이름은 해석기학학의 분류 원리에 따라 정의되었다. 편미분방정식의 유형에 따라 적절한 수치해석 기법을 선택하여야 한다. 1.3.1 1계 준선형(1st order quasi-linear) 편미분 연립 방정식 다음의 준선형 1계 연립 편미분 방정식의 유형을 평가하자. (1.10) (1.11) 위의 준선형방정식이 유지되기 위해서는 모든 계수는 독립변수의 도함수()에 의존하면 안된다. 만약, u와 v가 연속적으로 미분가능하다면, 다음과 같은 방향도함수를 고려할 수 있다. (1.12) (1.13) 위의 4개의 식을 이용하여 다음과 같이 4개의 미지수에 대한 연립방정식을 구성할 수 있다. (1.14) 위의 편미분 연립 방정식의 행렬식(determinant)이 0이 되어야만 무수히 많은 해가 존재하며, 경계조건 및 초기조건에 따라 주어진 문제의 해를 결정하게 된다. 만약에 행렬식이 0이 아니면 Crammer의 법칙에 따라 해를 다음과 같이 구하게 된다. 다음의 연립방정식의 해는 다음과 같다. (1.15) (1.16) 여거서, 행렬식은 다음과 같다. , (1.17) 만약, 이면 의 의미가 없는 해(trivial solution)를 갖고,이면 무수히 많은 해을 갖는다. 이 무수히 많은 해중 경계조건과 초기 조건을 만족시키는 해를 구한다. 행렬식은 다음과 같이 계산된다. (1.18) (1.19) (1.20) 위식의 항들을 정리하면 다음의 식을 얻을 수 있다. (1.21) dx와 dy의 어떤 특성이 행렬식을 0으로 만드는지 결정하기 위하여 위의 식을 dx의 자승으로 나누어 주면 다음의 식을 얻을 수 있다. (1.22) 위 식의 해는 다음과 같이 구해진다. (1.23) (1.24) 여기서, 에 따라 실수나 복소수의 해를 얻는다. 해에 따라 다음과 같이 편미분 방정식을 분류한다. 인 경우 2개의 실근을 가지며 쌍곡형 편미분 방정식이 된다. 인 경우 1개의 실근을 가지며 포물형 편미분 방정식이 된다. 인 경우 2개의 허근을 가지며 타원형 편미분 방정식이 된다. 위 특성식의 해 나 를 특성방향이라 칭한다. 편미분방정식의 해는 이러한 방향을 따라 진행된다. 1.3.2 2계 준선형(2nd order quasi-linear) 편미분 방정식 다음과 같은 2계 준선형 편미분 방정식의 유형을 평가하자. (1.25) 본 문제는 2계 미분 문제로서 다음과 같이 2개의 1계 미분 문제로 변환시킬 수 있다. 방향별 미분은 다음과 같다. (1.26) (1.27) 행렬 형태로 연립방정식을 구성하면 다음과 같다. (1.28) 행렬식은 다음과 같다. (1.29) 혹은 다음과 같이 표현할 수 있다. (1.30) A = a, B = -b, C = c라 하면 인 경우 2개의 실근을 가지며 쌍곡형 편미분 방정식이 된다. 인 경우 1개의 실근을 가지며 포물형 편미분 방정식이 된다. 인 경우 2개의 허근을 가지며 타원형 편미분 방정식이 된다. 1.3.3 선형 파동(1inar wave) 편미분 방정식 다음의 선형 파동 문제의 편미분 방정식의 분류는 다음과 같다. (1.31) , , 이므로 이다. 값은 항상 양수이므로 에 편미분 방정식 항상 쌍곡형의 유형이다. 시간에 따라 값이 변하는 경우 특성식의 해가 시간에 따라 달라지므로 수치해법에 있어서 이러한 특성선의 성질을 고려하여야 한다. 이러한 경우는 특성선을 추적하여야 하므로 입자추적법의나 Lagrangian 수치해법을 사용하게 된다. 1.4 포물형 편미분방정식의 해석 일반적으로 지하수 흐름의 지하수 유동 방정식 및 오염물 이동에 관계된 물질이동방정식은 포물형의 편미분 방정식 유형에 속한다. 이러한 일차원 물질이동방정식에 대하여 여러 수치해석 기법을 적용하여 일차원 모형을 개발하였다. Excel을 사용하여 모형을 개발함으로서 수치해석 알고리즘에 대하여 계산결과를 상세히 확인할 수 있었다. 이러한 계산결과는 저자가 기존에 개발한 BASIC 및 FORTRAN을 이용한 수치해석모형과 비교하여 수치해석 기법의 타당성을 검증하였다. 또한 모든 수치해석 기법의 결과는 이론해와 비교하였다. 수치해석 알고리즘으로 유한차분법 방법중 범용적 Crank-Nicholson 해법 (GCN : Generalized Crank-Nicholson Method)과 범용적 특성 평균법 (GCA : Generalized Characteristic Averaging Method)를 사용하였다. 이중 GCN 모형은 다음과 같이 서술할 수 있다. 1.4.1 범용적 Crank-Nicholson 해법 (H.W. and Exam. 2009) 물질이동식을 해석하기 위한 범용적 유한차분법 알고리즘을 유도하라. 1차원 물질이동식은 다음과 같다. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.32) 유한차분법에서는 위의 물질이동식을 수치해석적으로 해석하기 위하여 모든 도함수를 차분화한다. Taylor 급수를 이용하여 차분화하게 되는 데, 시간영역을 차분화하는 방법에 따라 전방차분법, 후방차분법, Crank-Nicholson법 등으로 구분된다. 범용적 Crank-Nicholson법에서는 시간가중함수를 이용하여 이러한 시간 차분 알고리즘을 일반화한 것이다. 시간가중함수 이 0인 경우에는 전방차분법, 1이면 후방차분법, 0.5이면 중앙차분법 혹은 Crank-Nicholson법이 된다. GCN의 수치해석 아날로그는 다음과 같다. 유속에 대한 항을 차분화하기 위하여 중앙차분법을 이용하였다. 　　　(1.33) 위의 식을 간략히 표현하기 위하여 다음의 계수를 정의한다. , , (1.34) 시간차분항을 정리한다. (1.35) 위의 식을 주변수에 대하여 정리한다. (1.36) 위의 식을 모든 절점에 대하여 합쳐주면 삼대각 행렬식이 구성된다. (1.37) (1.38) (1.39) 삼대각 행렬은 다음과 같다. (1.40) 이러한 삼대각 행렬이 구성되는 이유는 각 절점에 연결된 2개의 절점만 수치해석 아날로그에 포함되기 때문에 합쳐줄 때 각 절점별 식은 3개의 절점(확산항을 평가할 때 필요)을 필요로 하기 때문이다. 이러한 삼대각 행렬은 가우스소거법의 일종인 Thomas Algorithm을 이용하여 해를 구한다. 1.4.2 경계조건의 해석 경계조건에는 경계조건이 주변수로 주어지는 제1경계조건, 주변수의 도함수로 주어지는 제2경계조건, 주변수의 도함수가 경계지역 내외부의 주변수로부터 결정되는 제3경계조건이 있다. 주변수가 농도인 경우에는 다음과 같이 해석된다. o 제1경계조건 제1경계조건에서는 좌측() 혹은 우측농도()로 주어진다. 이러한 주어진 농도값으로 해를 고정시키기 위하여 최종행렬식에서 좌측절점(1) 및 우측절점(NS)에 대한 식의 성분은 다음과 같이 결정된다. 좌측 경계조건인 경우 : (1.41) 우측 경계조건인 경우 : (1.42) o 제2경계조건 제2경계조건에서는 다음과 같이 주어진 플럭스로 경계조건이 결정된다. (*는 플럭스를 의미한다.) (1.43) 좌측경계조건식은 다음과 같이 해석된다. (1.44) 최종행렬식의 각 성분은 다음과 같이 해석된다. (1.45) (1.46) (1.47) 따라서, 을 에 을 에 더해준다. (1.48) 우측경계조건은 다음과 같은 식으로 주어진다. (1.49) 따라서, 다음과 같이 최종행렬식을 성분을 해석한다. (1.50) (1.51) (1.52) 　　　 (1.53) 를 에, 에 를 더해준다. (1.54) o 제3경계조건 제3경계조건은 다음의 식으로 정의된다. (1.55) 좌측경계조건은 다음의 식으로 정의된다. (1.56) 여기서, 은 플럭스의 전도도 계수이고, 는 경계지역에서의 주변수의 값이다. 위의 식은 다음과 같이 전개된다. (1.57) (1.58) 따라서, 다음과 같이 더해준다. (1.59) (1.60) 우측경계조건은 다음의 식으로 정의된다. (1.61) 따라서, 우측 절점에 대한 최종행렬식은 다음과 같다. (1.62) (1.63) 따라서, 다음과 같이 더해준다. (1.64) (1.65) 1.4.3 물질이동식의 이론해(Analytical Solution) 1) 오차함수(Error Function)를 이용한 이론해 일차원 물질이동식의 이론해는 경계조건에 따라서 Boltzman 변환을 사용하거나 Laplace 변환을 사용하여 다음의 초기조건 및 경계조건에 대하여 이론해를 얻을 수 있다. 초기조건:, 경계조건: , 물질이동식에 Laplace 변환을 적용하면 다음과 같은 이론해를 얻을 수 있다. (1.66) 여기서, , 이다. (1.67) 위의 오차함수는 다음과 같이 급수를 이용하여 수치해석적으로 구할 수 있다. (1.68) 오차함수를 해석하기 위한 프로그램은 다음과 같다. --------------- F1.1 오차함수를 해석하기 위한 프로그램 ----------------- character*10 answer write(*,*) 'stop computation?(y/n)' read(*,*) answer if (answer='y') then goto 100 endif 10 write (*,*) 'input z, D, t, theta0, thetai=' read (*,*) z, D, t, theta0, theti u = z / (4 * D * t) ** 0.5 call err(u,sumu) subroutine err(u, sumu) (sub err) sumu = 0 ifact = 1 do i = 2, 100 (for i =1 2 to 100) ifact=ifact*(i-1) sumu = sumu + (-1)**(i+1)*u**(2*i-1)/((2*i-1)*ifact) enddo sumu = sumu + u sumu = sumu * (4 / 3.1415917) ** 0.5 return end theta = theta0 + (thetai - theta0) * sumu write(*,*) 'soil moisture content =', theta goto 10 100 stop end ------------------------------------------------------------------- 2) Fourier 급수를 사용한 일반해 다음과 같은 Fourier 급수를 사용한 일반해를 가정한다. (1.69) 여기서, 는 시간영역에서의 n번째 요소의 진동수, 는 공간영역에서의 진동수이다. 다음과 같이 n번째 해를 고려하여 물질이동식에 대입한다. , (1.70) 다음과 같이 진동수 간의 관계를 구할 수 있다. , (1.71) Fourier 급수의 해의 n번째 해는 다음과 같다. (1.72) 여기서, Fourier 급수의 각 성분에 있어서 는 이동을 나타내고, 는 크기의 변화를 나타낸다. 따라서, ∆t 시간 이수에는 n번째 진동파는 만큼 감소하고 만큼 이동할 것이다. 1.4.4 Basic을 이용한 GCN 모형의 개발 저자는 Quick Basic Compiler를 이용하여 다음과 같은 GCN 모형을 개발하였다. 본 모형은 Graphic 모듈을 내장하여 계산결과를 도시할 수 있는 장점이 있다. 다음에 본 프로그램의 주 모듈을 나타내었다. --------- B1.1 GCN 알고리즘을 이용한 유한차분모형 -------------------- 10 ' 20 ' Program 2.BAS by Professor Joon Hyun Kim 30 ' 40 ' Generalized Crank-Nicholson Method 50 ' 60 ' 1 Dimensional Mass Transport Problem 70 ' 80 ' CE284H, Winter 1987, Revision Winter 2007 90 ' 100 ' 110 CLS : SCREEN 0: KEY OFF: 'WIDTH "lpt1:", 130: ' LPRINT CHR$(15) 120 ' 130 DIM X(100), Y(100), U(100), OLDU(100), UANAL(100) 132 DIM A(100), B(100), C(100), D(100), BETA(100), GAMMA(100), VEC(100) 140 ' 150 ' INPUT "PRINT FILE, HOW MANY DATA SETS TO TRY="; FILE1$, DSET 152 DSET = 3 154 FILE1$ = "3.PL1": FILE2$ = "3.PL2": FILE3$ = "3.PL3" 160 OPEN FILE1$ FOR OUTPUT AS #1 170 OPEN FILE3$ FOR OUTPUT AS #3 180 ' 190 KOUNT2 = 0 200 GOSUB 1000: 'Input Data 210 ' 220 GOSUB 2000: 'A(I),B(I),C(I) of Tridiagonal Banded Matrix with B.C. 230 ' 240 KOUNT1 = 0: TIME = 0: ITER = 0 250 TIME = TIME + DT: ITER = ITER + 1 260 IF TIME > TMAX THEN 360 270 ' 280 GOSUB 3000: 'R.H.S LOAD VECTOR D(I) & B.C. & SOLVE MATRIX FOR U(I) 290 ' 292 GOSUB 7000: 'COMPUTE ANALYTICAL SOLUTION UANAL(I) 294 ' 300 IP = INT(ITER / IPRINT) * IPRINT 310 IF IP = ITER THEN GOSUB 4000: 'Store the result for output file 320 ' 330 FOR I = 1 TO NS: OLDU(I) = U(I): NEXT I 340 GOTO 250: 'ITERATATION 350 ' 360 TIME = TIME - DT: GOSUB 4000: CLOSE #2: 'print last time step 370 ' 380 OPEN FILE2$ FOR INPUT AS #2 390 KOUNT = KOUNT1: INF = 2 400 ' GOSUB 5000: ' <- Plot every modeling results 410 CLOSE #2 420 ' 422 '... store the simulation result at last time step into file #3 ... 444 ' 430 KOUNT2 = KOUNT2 + 1 440 FOR I = 1 TO NS: PRINT #3, USING " ##.#### "; U(I); : NEXT I: PRINT #3, " " 445 KOUNT2 = KOUNT2 + 1 448 FOR I = 1 TO NS: PRINT #3, USING " ##.#### "; UANAL(I); : NEXT I: PRINT #3, " " 450 IF KOUNT2 = 2 * DSET THEN 460 ELSE 200 460 CLOSE #3 470 OPEN FILE3$ FOR INPUT AS #3 480 KOUNT = KOUNT2: INF = 3 490 GOSUB 5000: ' <- Plot the last time result 500 CLOSE #3 510 ' 520 END 1000 ' 1010 '========= 1. Input Data ==================================== 1020 ' 1030 OPEN FILE2$ FOR OUTPUT AS #2 1040 INPUT "DD="; DD 1050 IPRINT = 50: DT = .025: NS = 41: EP = .5 1060 TMAX = 1.25: RK = 0: V = .369 1070 DX = 1 / (NS - 1): U0 = 0: YMIN = 0: YMAX = 1.2 1080 IBL = 1: UBL = 1: IBR = 2: UBR = 0: KBL = 0: KBR = 0 1090 ' 1100 FOR I = 1 TO NS: OLDU(I) = U0: NEXT I 1110 OLDU(1) = UBL 1120 FOR I = 1 TO NS: X(I) = DX * (I - 1): NEXT I 1130 XMIN = X(1): XMAX = X(NS) 1140 ' 1150 PRINT #1, "INPUT DATA" 1160 PRINT #1, "NS="; NS; " dx="; DX; " dt="; DT; " tmax="; TMAX; " IPRINT ="; IPRINT 1170 PRINT #1, "D="; DD; " V="; V; " k="; RK; " ep="; EP; " U0 ="; U0 1180 PRINT #1, "IBL,UBL,IBR,UBR,KBL,KBR="; IBL; UBL; IBR; UBR; KBL; KBR 1190 ' 1200 RETURN 2000 ' 2010 '====== 2. L.H.S. Coefficient Matrix A(I), B(I), C(I) & B.C. ============ 2020 ' 2030 AL = DD * DT / DX ^ 2: BE = .5 * V * DT / DX: GA = RK * DT 2040 FOR I = 1 TO NS 2050 A(I) = -EP * (AL + BE) 2060 B(I) = 1 + EP * (2 * AL + GA) 2070 C(I) = -EP * (AL - BE) 2080 NEXT I 2090 ' 2100 ' Left Boundary Conditions 2110 ' 2120 IF IBL = 1 THEN 2150 2130 IF IBL = 2 THEN 2180 2140 IF IBL = 3 THEN 2190 2150 ' 2160 B(1) = 1: C(1) = 0: GOTO 2210 2170 ' 2180 C(1) = C(1) + A(1): D(1) = D(1) + A(1) * 2 * DX * UBL: GOTO 3200 2190 ' 2200 B(1) = B(1) - 2 * DX * KBL * A(1): C(1) = C(1) + A(1): GOTO 3200 2210 ' 2220 ' Right Boundary Contions 2230 ' 2240 IF IBL = 1 THEN 2270 2250 IF IBL = 2 THEN 2290 2260 IF IBL = 3 THEN 2310 2270 ' 2280 A(NS) = 0: B(NS) = 1: GOTO 2340 2290 ' 2300 A(NS) = A(NS) + C(NS): GOTO 2340 2310 ' 2320 A(NS) = A(NS) + C(NS): B(NS) = B(NS) + 2 * DX * C(NS) * KBR: GOTO 2340 2330 ' 2340 PRINT #1, "DD*dt/dx^2, V*dt/2/dx, k*dt=", USING " ###.#### ###.#### ###.####"; AL; BE; GA 2350 PRINT #1, "a(1),b(1),c(1)=", USING "###.#### ###.#### ###.####"; A(1); B(1); C(1) 2360 ' 2370 PE = V * DX / DD: CR = 2 * BE: CRPE = CR / PE 2380 PRINT #1, "Peclet No.="; PE; " Courant No.="; CR; " Cr/Pe="; CRPE: PRINT #1, " " 2390 RETURN 3000 ' 3010 '========== 3. R.H.S. LOAD VECTOR & B.C. ==================== 3020 ' 3030 FOR I = 2 TO NS - 1 3040 D(I) = (1 - EP) * (AL + BE) * OLDU(I - 1) + (1 - (1 - EP) * (2 * AL + GA)) * OLDU(I) + (1 - EP) * (AL - BE) * OLDU(I + 1) 3050 NEXT I 3060 ' 3070 ' Left Boundary Conditions 3080 ' 3090 IF IBL = 1 THEN 3120 3100 IF IBL = 2 THEN 3150 3110 IF IBL = 3 THEN 3180 3120 ' 3130 D(1) = UBL: GOTO 3200 3140 ' 3150 D(1) = (1 - EP) * (AL + BE) * (OLDU(2) - 2 * DX * UBL) + (1 - (1 - EP) * (2 * AL + GA)) * OLDU(1) + (1 - EP) * (AL - BE) * OLDU 3160 D(1) = D(1) + A(1) * 2 * DX * UBL: GOTO 3200 3170 ' 3180 D(1) = (1 - EP) * (AL + BE) * (OLDU(2) - 2 * DX * KBL * (OLDU(1) - UBL)) + (1 - (1 - EP) * (2 * AL + GA)) * OLDU(1) + (1 - EP) * (AL - BE) * OLDU(2) 3190 D(1) = D(1) - A(1) * 2 * DX * KBL * U(1): GOTO 3200 3200 ' 3210 ' RIGHT BOUNDARY CONDITION 3220 ' 3230 IF IBR = 1 THEN 3260 3240 IF IBR = 2 THEN 3290 3250 IF IBR = 3 THEN 3320 3260 ' 3270 D(NS) = UBR: GOTO 3340 3280 ' 3290 D(NS) = (1 - EP) * (AL + BE) * OLDU(NS - 1) + (1 - (1 - EP) * (2 * AL + GA)) * OLDU(NS) + (1 - EP) * (AL - BE) * (OLDU(NS - 1) + 2 * DX * UBR) 3300 D(NS) = D(NS) - C / (NS) * 2 * DX * UBR: GOTO 3340 3310 ' 3320 D(NS) = (1 - EP) * (AL + BE) * OLDU(NS - 1) + (1 - (1 - EP) * (2 * AL + GA)) * OLDU(NS) + (1 - EP) * (AL - BE) * (OLDU(NS - 1) + 2 * DX * KBR * (OLDU(NS) - UBR)) 3330 D(NS) = D(NS) + 2 * DX * KBR * UBR: GOTO 3340 3340 ' 3350 ' SOLVE TRIDIAGONAL MATRIX 3360 N = NS 3370 GOSUB 6000 3380 FOR I = 1 TO NS: U(I) = VEC(I): NEXT I 3390 ' 3400 RETURN 4000 ' 4010 ' ============== 4. PRINT OUT RESULT ======================= 4020 ' 4030 ' 4040 PRINT #1, " ": PRINT #1, "TIME="; USING "##.####"; TIME 4050 KPRINT = 0: 'Print out with the format of 11 columns 4060 FOR I = 1 TO 11 4070 KPRINT = KPRINT + 1 4080 IF KPRINT > NS THEN 4130 4090 PRINT #1, USING " ##.####"; U(KPRINT); 4100 PRINT #2, USING " ##.####"; U(KPRINT); 4110 NEXT I 4120 PRINT #1, " ": GOTO 4060 4130 PRINT #1, " ": PRINT #2, " ": KPRINT = 0: KOUNT1 = KOUNT1 + 1 4140 FOR I = 1 TO 11 4150 KPRINT = KPRINT + 1 4160 IF KPRINT > NS THEN 4190 4165 PRINT #1, USING " ##.#### "; UANAL(KPRINT); 4170 PRINT #2, USING " ##.#### "; UANAL(KPRINT); 4185 NEXT I 4180 PRINT #1, " ": GOTO 4140 4190 PRINT #1, " ": PRINT #2, " ": KOUNT1 = KOUNT1 + 1 4200 ' 4210 RETURN 5000 ' 5010 ' ============5. PLOT THE RESULT ======================== 5020 ' 5030 KK = 0 5040 KK = KK + 1: PRINT #1, "KK,KOUNT="; KK; KOUNT 5050 IF KK > KOUNT THEN 5230 5060 FOR I = 1 TO NS: INPUT #INF, Y(I): PRINT #1, "I,Y="; I; Y(I): NEXT I 5070 ' 5080 SCREEN 2 5090 VIEW (90, 10)-(634, 164) 5100 WINDOW (XMIN, YMIN)-(XMAX, YMAX) 5110 LOCATE 1, 12: PRINT " D="; DD; " V="; V; " DX="; DX; " DT="; DT; " EP="; EP 5120 LOCATE 2, 4: PRINT USING "##.##"; YMAX: LOCATE 21, 4: PRINT USING "##.##"; YMIN 5130 LOCATE 22, 10: PRINT USING " ##.##"; XMIN: LOCATE 22, 74: PRINT USING "##.##"; XMAX 5140 LOCATE 23, 20: PRINT "Distance in X direction at time="; USING "##.###"; TIME 5150 LINE (XMIN, YMIN)-(XMAX, YMAX), , B 5160 PSET (X(1), Y(1)) 5170 FOR I = 2 TO NS 5180 LINE -(X(I), Y(I)) 5190 NEXT I 5200 A$ = INPUT$(1) 5210 GOTO 5040 5220 ' 5230 A$ = INPUT$(1): 'A$ = INPUT$(1) 5240 'SCREEN 0 5250 ' 5260 RETURN 6000 ' 6010 ' ======================6. Thomas Algorithm ==================== 6020 ' 6030 ' 6040 ' Find Beta And Gamma 6050 ' 6060 BETA(1) = B(1) 6070 GAMMA(1) = D(1) / B(1) 6080 FOR I = 2 TO N 6090 IM = I - 1 6100 BETA(I) = B(I) - A(I) * C(IM) / BETA(IM) 6110 GAMMA(I) = (D(I) - A(I) * GAMMA(IM)) / BETA(I) 6120 NEXT I 6130 ' 6140 ' Solve For Vector 6150 ' 6160 VEC(N) = GAMMA(N) 6170 NM = N - 1 6180 FOR I = 1 TO NM 6190 NMI = N - I 6200 NMI1 = NMI + 1 6210 VEC(NMI) = GAMMA(NMI) - C(NMI) * VEC(NMI1) / BETA(NMI) 6212 ' PRINT #1, "NMI,VEC(NMI)="; NMI, VEC(NMI) 6220 NEXT I 6230 ' 6240 RETURN 7000 ' 7010 '====================7. ANALYTIC SOLUTION=================== 7020 ' 7030 UANAL(1) = UBL 7040 DTT = DD * TIME 7050 DTT1 = SQR(DTT) 7060 FOR I = 2 TO NS 7070 UUU = .5 * (X(I) - V * TIME) / DTT1 7080 GOSUB 8000: '<-ERROR FUNCTION 7090 UANAL(I) = .5 * UBL * REC 7100 NEXT I 7110 ' 7120 RETURN 8000 ' 8010 '====================8. ERROR FUCTION======================== 8020 ' 8030 SUMC = 0 8040 BB = 1: UUU1 = UUU 8050 IF UUU < 0 THEN UUU = -UUU 8060 IF UUU > 2! THEN 8070 ELSE 8080 8070 RE = 1: GOTO 8140 8080 FOR KKK = 1 TO 10 8090 BB = BB * KKK 8100 CC = (-1) ^ KKK * UUU ^ (2 * KKK + 1) / (BB * (2 * KKK + 1)) 8110 SUMC = CC + SUMC 8120 NEXT KKK 8130 RE = 1.12838 * (UUU + SUMC) 8140 IF UUU1 < 0 THEN RE = -RE 8150 REC = 1 - RE 8160 ' 8170 RETURN ------------------------------------------------------------------- 위의 프로그램의 수치해석적 안정성 및 정확도를 분석하기 위하여, 확산이 지배적인 경우(D=0.01725, V=0.369), 유속이 지배적인 경우(D=0.0001725), 중간 경우(D=0.001725)에 대하여 모델링을 수행하여 다음과 같이 비교하였다. 그림 1.1 GCN-Basic 모형의 계산 결과 1.4.5 Excel을 이용한 GCN 모형의 개발 Excel로서 GCN 모형을 개발하였다. 그림에 나타난 바와 같이 Basic 모형인 GCN.BAS 프로그램의 결과와 동일하다. 그림 1.2 GCN-Excel 모형의 계산 과정 그림 1.3 GCN-Excel 모형의 계산 결과 1.4.6 범용적 특성 평균 해법 (GCA) GCA방법에 의한 알고리즘은 다음과 같이 특성법(Characteristic Method), 중앙차분평균법(Centered Difference (Averaging) Method), 범용적(Generalized) Crank Nicholson 법의 결합에 의해 유도된다. 1) 특성법(Characteristic Method) 편미분방정식은 특성식의 속성에 따라 다음과 같이 분류된다. 타원형 : 정상상태의 확산식 : (1.73) 포물선형 : 물질이동방정식 : (1.74) 쌍곡선형 : 연속방정식 : (1.75) 위의 편미분방정식중 쌍곡선형인 경우에는 수치해석 불안정성과 오차가 심하기 때문에 격자망을 작게 사용하거나, 특성법을 사용하여야 한다. 특성법은 다음과 같이 설명된다. 연속방정식에 전방차분법을 적용하면 다음과 같다. (1.76) 위의 전방차분 아날로그에 대하여 특성법에서는 주변수가 유속을 따라 이동한다고 가정한다. 즉. 시간과 공간격자의 크기를 특성선상의 유속에 따라 다음과 같이 결정한다. (1.77) 따라서, 다음의 식으로 전개된다. , (1.78) 즉, 주변수가 격자망을 따라서 유속에 의하여 이동하는 것을 알 수 있다. 물질이동식에 GCA의 알고리즘을 적용하기 위해서는 유속항은 중앙차분법을, 확산항은 특성법을 적용한다. 즉 분산이 유속에 따라 이동된 격자에서 일어난 것으로 가정한다. 따라서, 분산항은 다음과 같이 평가된다. n 시각 : (1.79) n+1 시각 : (1.80) 2) 중앙차분(평균)법 (Centered Difference (Averaging) Method) 물질이동식중 유속에 의한 항은 중앙차분법으로 평가된다. 즉, 시간도함수는 공간절점에 대하여 평균치를 취하고, 공간도함수는 시간절점에 대하여 평균치를 취한다. (1.81) (1.82) 위의 식을 정리하면 다음과 같다. (1.83) 여기서, , 이다. 만약 평균을 취하지 않는 다면, 위의 식은 다음과 같다 (전방차분특성법). (1.84) 인 경우, 두 평균 차분 특성법이나 전방 차분 특성법 모두 다음과 같이 유속에 따라 주변수를 추적하는 알고리즘이 되므로 특성법을 입자추적법이라고도 한다. (1.85) 3) GCN을 이용한 확산항의 평가 GCA에서는 확산항을 평가하기 위해서 다음과 같은 격자망을 사용하므로, 확산항에 대한 해석은 다음과 같다. 그림 1.4 GCA의 시간 및 공간의 격자점 o 시간에 대하여 평균화된 GCN (1.86) o 시간에 대하여 가중계수를 사용한 GCN (1.87) 4) 평균특성법과 GCN의 결합 평균특성법 GCN은 다음과 같이 시간미분에 대하여 평균치를 사용하거나 가중계수를 사용하여 평가될 수 있다. o 평균 GCA : (1.88) o 가중 GCA : (1.89) 위의 GCA 아날로그는 파라미터를 추출하기 위하여 다음과 같이 정리된다. o 평균 GCA = - (1.90) o 가중 GCA = - (1.91) 계수는 GCN 모형과 유사하게 정의된다. , (1.92) , , (1.93) 위의 계수를 이용하여 식을 정리하면 다음과 같다. o 평균 GCA = - (1.94) o 가중 GCA = - (1.95) 위의 식을 현재와 장래의 주변수에 대해서 정리한다. o 평균 GCA (1.96) , , (1.97) (1.98) o 가중 GCA (1.99) , , (1.100) (1.101) 5) 최종행렬식의 구성 GCN 방법과 마찬가지로 최종행렬식은 다음과 같은 각 절점에 대한 식을 합침으로서 구성된다. 아래 식의 모든 절점을 조합하면 좌측행렬이 삼대각 행렬이 된다. (1.102) 6) Basic을 이용한 GCA 모형의 개발 저자는 Quick Basic Compiler를 이용하여 다음과 같은 GCA 모형을 개발하였다. 본 모형은 Graphic 모듈을 내장하여 계산결과를 도시할 수 있는 장점이 있다. ---------- B1.2 GCA 알고리즘을 이용한 유한차분모형 -------------------- 10 ' 20 ' Program GCA.BAS by Professor Joon Hyun Kim 30 ' 40 ' Characteristic Averaging Method 50 ' 60 ' 1 Dimensional Mass Transport Problem 70 ' 80 ' CE284H, Winter 1987, Revision Winter 2007 90 ' 100 ' 110 CLS : SCREEN 0: KEY OFF: 'WIDTH "lpt1:", 130: ' LPRINT CHR$(15) 120 ' 130 DIM X(100), Y(100), U(100), OLDU(100), UANAL(100) 132 DIM A(100), B(100), C(100), D(100), BETA(100), GAMMA(100), VEC(100) 140 ' 142 ' ...input output file name and nubmer of data sets... 144 ' 150 ' INPUT "OUTPUT FILE, HOW MANY DATA SETS TO TRY="; FILE1$, DSET 152 DSET = 3 154 FILE1$ = "7.PL1": FILE2$ = "7.PL2": FILE3$ = "7.PL3" 160 OPEN FILE1$ FOR OUTPUT AS #1 170 OPEN FILE3$ FOR OUTPUT AS #3 180 ' 190 KOUNT2 = 0 200 GOSUB 1000: 'Input Data 210 ' 220 GOSUB 2000: 'A(I),B(I),C(I) of Tridiagonal Banded Matrix with B.C. 230 ' 240 KOUNT1 = 0: TIME = 0: ITER = 0 250 TIME = TIME + DT: ITER = ITER + 1 260 IF TIME > TMAX THEN 360 270 ' 280 GOSUB 3000: 'R.H.S LOAD VECTOR D(I) & B.C. & SOLVE MATRIX FOR U(I) 290 ' 292 GOSUB 7000: 'COMPUTE ANALYTICAL SOLUTION UANAL(I) 294 ' 196 ' ...store the solution at input interval... 198 ' 300 IP = INT(ITER / IPRINT) * IPRINT 310 IF IP = ITER THEN GOSUB 4000 320 ' 330 FOR I = 1 TO NS: OLDU(I) = U(I): NEXT I 340 GOTO 250: 'ITERATATION 350 ' 352 ' ...store the solution at last time for time <= tmax to the file #2... 354 ' 360 TIME = TIME - DT: GOSUB 4000: CLOSE #2 370 ' 372 ' ...plot the result of file #2 (at each time step)... 374 ' 380 OPEN FILE2$ FOR INPUT AS #2 390 KOUNT = KOUNT1: INF = 2 400 ' GOSUB 5000: ' <-Plot 410 CLOSE #2 420 ' 422 ' ...comparison plotting of numerical and analytical solutions of file #3... 424 ' 430 KOUNT2 = KOUNT2 + 1 440 FOR I = 1 TO NS: PRINT #3, USING " ##.#### "; U(I); : NEXT I 445 KOUNT2 = KOUNT2 + 1 448 FOR I = 1 TO NS: PRINT #3, USING " ##.#### "; UANAL(I); : NEXT I 450 IF KOUNT2 = 2 * DSET THEN 460 ELSE 200 460 CLOSE #3 470 OPEN FILE3$ FOR INPUT AS #3 480 KOUNT = KOUNT2: INF = 3 490 GOSUB 5000: ' <-Plot 500 CLOSE #3 510 ' 520 END 1000 ' 1010 '============ 1. Input Data ============================= 1020 ' 1030 OPEN FILE2$ FOR OUTPUT AS #2 1040 INPUT "DD="; DD 1050 NS = 41: TMAX = 1.25: EP = .5: DX = 1 / (NS - 1): '... simulation control data ... 1060 U0 = 0: RK = 0: V = .369: DT = DX / V: '... physical data ... 1070 IBL = 1: UBL = 1: IBR = 2: UBR = 0: KBL = 0: KBR = 0: '... boundary condition ... 1080 IPRINT = 50: YMIN = 0: YMAX = 1.2: '... printing and plotting control ... 1090 ' 1100 FOR I = 1 TO NS: OLDU(I) = U0: NEXT I: '...initial concentration... 1110 OLDU(1) = UBL: '...boundary condition... 1120 FOR I = 1 TO NS: X(I) = DX * (I - 1): NEXT I: '...nodal points... 1130 XMIN = X(1): XMAX = X(NS): '...min and max value of x-axis... 1140 ' 1150 PRINT #1, "INPUT DATA" 1160 PRINT #1, "NS="; NS; " dx="; DX; " dt="; DT; " tmax="; TMAX; " IPRINT ="; IPRINT 1170 PRINT #1, "D="; DD; " V="; V; " k="; RK; " ep="; EP; " U0 ="; U0 1180 PRINT #1, "IBL,UBL,IBR,UBR,KBL,KBR="; IBL; UBL; IBR; UBR; KBL; KBR 1190 ' 1200 RETURN 2000 ' 2010 '==== 2. L.H.S. COMPONENTS OF TRIDIAGONAL BANDED MATRIX A(I), B(I), C(I) & B.C. ====== 2020 ' 2030 AL = DD * DT / DX ^ 2: BE = .5 * V * DT / DX: GA = RK * DT 2032 PE = V * DX / DD: CR = 2 * BE: CRPE = CR / PE 2034 PRINT #1, "Peclet No.="; PE; " Courant No.="; CR; " Cr/Pe="; CRPE: PRINT #1, " " 2036 D1 = 1 / PE: D2 = 1 + 2 * BE - 2 / PE - .5 * GA: D3 = 1 - 2 * BE + 1 / PE - .5 * GA 2038 ' 2040 FOR I = 1 TO NS 2050 A(I) = -1 / PE + .5 * GA 2060 B(I) = 1 + 2 * BE + 2 / PE + .5 * GA 2070 C(I) = -1 / PE 2080 NEXT I 2090 ' 2100 ' Left Boundary Conditions 2110 ' 2120 IF IBL = 1 THEN 2150 2130 IF IBL = 2 THEN 2180 2140 IF IBL = 3 THEN 2190 2150 ' 2155 A(2) = -.5 * (AL + BE): B(2) = 1 + .5 * (2 * AL + GA): C(2) = -.5 * (AL - BE) 2160 B(1) = 1: C(1) = 0: GOTO 2210 2170 ' 2180 C(1) = C(1) + A(1): D(1) = D(1) + A(1) * 2 * DX * UBL: GOTO 3200 2190 ' 2200 B(1) = B(1) - 2 * DX * KBL * A(1): C(1) = C(1) + A(1): GOTO 2210 2210 ' 2220 ' Right Boundary Contions 2230 ' 2240 IF IBL = 1 THEN 2270 2250 IF IBL = 2 THEN 2290 2260 IF IBL = 3 THEN 2310 2270 ' 2280 A(NS) = 0: B(NS) = 1: GOTO 2340 2290 ' 2300 A(NS) = A(NS) + C(NS): GOTO 2340 2310 ' 2320 A(NS) = A(NS) + C(NS): B(NS) = B(NS) + 2 * DX * C(NS) * KBR: GOTO 2340 2330 ' 2340 PRINT #1, "DD*dt/dx^2, V*dt/2/dx, k*dt=", USING " ###.#### ###.#### ###.####"; AL; BE; GA 2350 PRINT #1, "a(1),b(1),c(1)=", USING "###.#### ###.#### ###.####"; A(1); B(1); C(1) 2360 ' 2390 RETURN 3000 ' 3010 '=========== 3. R.H.S. LOAD VECTOR & B.C. ================ 3020 ' 3030 FOR I = 3 TO NS 3040 D(I) = D1 * OLDU(I - 2) + D2 * OLDU(I - 1) + D3 * OLDU(I) 3050 NEXT I 3055 D(2) = -A(2) * OLDU(1) + (2 - B(2)) * OLDU(2) - C(2) * OLDU(3) 3060 ' 3070 ' LEFT BOUNDARY CONDITION 3080 ' 3090 IF IBL = 1 THEN 3120 3100 IF IBL = 2 THEN 3150 3110 IF IBL = 3 THEN 3180 3120 ' 3130 D(1) = UBL: GOTO 3200 3140 ' 3150 D(1) = D1 * (OLDU(2) - 2 * DX * UBL) + D2 * OLDU(1) + D3 * OLDU(2) 3160 D(1) = D(1) + A(1) * 2 * DX * UBL: GOTO 3200 3170 ' 3180 D(1) = D1 * (OLDU(2) - 2 * DX * KBL * (OLDU(1) - UBL)) + D2 * OLDU(1) + D3 * OLDU(2) 3190 D(1) = D(1) - A(1) * 2 * DX * KBL * U(1): GOTO 3200 3200 ' 3210 ' RIGHT BOUNDARY CONDITION 3220 ' 3230 IF IBR = 1 THEN 3260 3240 IF IBR = 2 THEN 3290 3250 IF IBR = 3 THEN 3320 3260 ' 3270 D(NS) = UBR: GOTO 3340 3280 ' 3290 D(NS) = D1 * OLDU(NS - 1) + D2 * OLDU(NS) + D3 * (OLDU(NS - 1) + 2 * DX * UBR) 3300 D(NS) = D(NS) - C / (NS) * 2 * DX * UBR: GOTO 3340 3310 ' 3320 D(NS) = D1 * OLDU(NS - 1) + D2 * OLDU(NS) + D3 * (OLDU(NS - 1) + 2 * DX * KBR * (OLDU(NS) - UBR)) 3330 D(NS) = D(NS) + 2 * DX * KBR * UBR: GOTO 3340 3340 ' 3350 ' SOLVE TRIDIAGONAL MATRIX 3360 N = NS 3370 GOSUB 6000 3380 FOR I = 1 TO NS: U(I) = VEC(I): NEXT I 3390 ' 3400 RETURN 4000 ' 4010 ' == 4. STORE THE RESULT IN FILE #1 AND #2 FOR PLOTTING === 4020 ' 4030 ' 4040 PRINT #1, " ": PRINT #1, "TIME="; USING "##.####"; TIME 4050 KPRINT = 0: 'Print out with the format of 11 columns 4060 FOR I = 1 TO 11 4070 KPRINT = KPRINT + 1 4080 IF KPRINT > NS THEN 4130 4090 PRINT #1, USING " ##.####"; U(KPRINT); 4100 PRINT #2, USING " ##.####"; U(KPRINT); 4110 NEXT I 4120 PRINT #1, " ": GOTO 4060 4130 PRINT #1, " ": PRINT #2, " ": KPRINT = 0: KOUNT1 = KOUNT1 + 1 4140 FOR I = 1 TO 11 4150 KPRINT = KPRINT + 1 4160 IF KPRINT > NS THEN 4190 4165 PRINT #1, USING " ##.#### "; UANAL(KPRINT); 4170 PRINT #2, USING " ##.#### "; UANAL(KPRINT); 4185 NEXT I 4180 PRINT #1, " ": GOTO 4140 4190 PRINT #1, " ": PRINT #2, " ": KOUNT1 = KOUNT1 + 1 4200 ' 4210 RETURN 5000 ' 5010 ' =============5. PLOT THE RESULT ================= 5020 ' 5030 KK = 0 5040 KK = KK + 1: PRINT #1, "KK,KOUNT="; KK; KOUNT 5050 IF KK > KOUNT THEN 5230 5060 FOR I = 1 TO NS: INPUT #INF, Y(I): PRINT #1, "I,Y="; I; Y(I): NEXT I 5070 ' 5080 SCREEN 2 5090 VIEW (90, 10)-(634, 164) 5100 WINDOW (XMIN, YMIN)-(XMAX, YMAX) 5110 LOCATE 1, 12: PRINT " D="; DD; " V="; V; " DX="; DX; " DT="; DT; " EP="; EP 5120 LOCATE 2, 4: PRINT USING "##.##"; XMAX: LOCATE 21, 4: PRINT USING "##.##"; IMIN 5130 LOCATE 22, 10: PRINT USING " ##.##"; XMIN: LOCATE 22, 74: PRINT USING "##.##"; XMAX 5140 LOCATE 23, 20: PRINT "Distance in X direction at time="; USING "##.###"; TIME 5150 LINE (XMIN, YMIN)-(XMAX, YMAX), , B 5160 PSET (X(1), Y(1)) 5170 FOR I = 2 TO NS 5180 LINE -(X(I), Y(I)) 5190 NEXT I 5200 A$ = INPUT$(1) 5210 GOTO 5040 5220 ' 5230 A$ = INPUT$(1): 'A$ = INPUT$(1) 5240 'SCREEN 0 5250 ' 5260 RETURN 6000 ' 6010 ' ======6. THOMAS ALGORITHM FOR THE SOLUTION OF TRIDIAGONAL BANDED MATRIX ============= 6020 ' 6030 ' 6040 ' Find Beta And Gamma 6050 ' 6060 BETA(1) = B(1) 6070 GAMMA(1) = D(1) / B(1) 6080 FOR I = 2 TO N 6090 IM = I - 1 6100 BETA(I) = B(I) - A(I) * C(IM) / BETA(IM) 6110 GAMMA(I) = (D(I) - A(I) * GAMMA(IM)) / BETA(I) 6120 NEXT I 6130 ' 6140 ' Solve For Vector 6150 ' 6160 VEC(N) = GAMMA(N) 6170 NM = N - 1 6180 FOR I = 1 TO NM 6190 NMI = N - I 6200 NMI1 = NMI + 1 6210 VEC(NMI) = GAMMA(NMI) - C(NMI) * VEC(NMI1) / BETA(NMI) 6212 ' PRINT #1, "NMI,VEC(NMI)="; NMI, VEC(NMI) 6220 NEXT I 6230 ' 6240 RETURN 7000 ' 7010 '==================7. ANALYTIC SOLUTION================ 7020 ' 7030 UANAL(1) = UBL 7040 DTT = DD * TIME 7050 DTT1 = SQR(DTT) 7060 FOR I = 2 TO NS 7070 UUU = .5 * (X(I) - V * TIME) / DTT1 7080 GOSUB 8000: '<-ERROR FUNCTION 7090 UANAL(I) = .5 * UBL * REC 7100 NEXT I 7110 ' 7120 RETURN 8000 ' 8010 ' =====================8. ERROR FUCTION====================== 8020 ' 8030 SUMC = 0 8040 BB = 1: UUU1 = UUU 8050 IF UUU < 0 THEN UUU = -UUU 8060 IF UUU > 2! THEN 8070 ELSE 8080 8070 RE = 1: GOTO 8140 8080 FOR KKK = 1 TO 10 8090 BB = BB * KKK 8100 CC = (-1) ^ KKK * UUU ^ (2 * KKK + 1) / (BB * (2 * KKK + 1)) 8110 SUMC = CC + SUMC 8120 NEXT KKK 8130 RE = 1.12838 * (UUU + SUMC) 8140 IF UUU1 < 0 THEN RE = -RE 8150 REC = 1 - RE 8160 ' 8170 RETURN ------------------------------------------------------------------- GCN 모형과 마찬가지로수치해석상의 안정도 및 정확도를 고찰하기 위하여 다음과 같이 확산이 지배적인 경우(D=0.01725, V=0.369), 유속이 지배적인 경우(D=0.0001725), 중간 경우(D=0.001725)에 대하여 모델링을 수행하여 다음과 같이 비교하였다. 그림 1.5 GCA-Basic 모형의 계산 결과 7) Excel을 이용한 GCA 모형의 개발 Excel로서 GCA 모형을 개발하였다. 그림에 나타난 바와 같이 GCA.BAS 프로그램의 결과와 동일하다. 그림 1.6 GCA-Excel 모형의 계산 과정 그림 1.7 GCA-Excel 모형의 계산 결과

1. 도시화에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 골라라 ? a. 유럽의 도시화는 산업 혁명을 거치면서 시작되었다 . b. 세계의 도시화는 2차 대전 이후에는 둔화되었다 . c. 3 차 산업의 발달로 도시화가 더욱 촉진되었다 . d. 20 세기 초에는 대부분의 국가에서 인구의 절반 이상 이 도시에 거주한다 . e. 현재 도시 인구는 전세계 인구의 약 절반에 달한다 . ①ⓐ,ⓒ,ⓔ ② ⓐ,ⓑ,ⓒ ③ ⓒ,ⓓ,ⓔ ④ ⓑ,ⓓ,ⓔ ⑤ ⓑ,ⓒ,ⓔ 2. 다음 그림은 도시화의 추세 모형이다 . 이에 대한 설 명으로 바른 것은 ? 100 (%) B A 도시화율 1800 1900 2000 ① A는 개발 도상국의 도시화 추세이다 . ② B는 선진국의 도시화 추세이다 . ③ 선진국의 도시화는 짧은 시간에 급속히 이루어졌다 . ④ 선진국의 도시화는 주로 자연 증가에 의해 이루어 졌다. ⑤ 개도국의 도시화는 1970년대 이후에 급속히 진행 3. 도시화가 제 2차 세계 대전 이후에 더욱 빠르게 진행 된 이유로 가장 타당한 것은 ? ①비옥한 평야 지대에 위치하여 농업이 발달했기 때문에 ②교통이 편리하여 상업 중심지가 되었기 때문에 ③도시가 정치 ,행정의 중심지가 되었기 때문에 2,3④차 산업이 발달하여 더 많은 일자리를 제공 했기 때문에 ⑤전쟁 후 피난민들이 그대로 정착했기 때문에 4. 우리 나라의 도시화에 대한 설명으로 잘못된 것은? ①신라 시대에 이미 경주와 같은 고대 도시가 발달 ②1960년대 이후 도시화가 빠르게 진행되었다 . ③공업화로 인한 이촌 향도가 도시화의 주요인이다 . ④현재전체인구의약50% 정도만 도시에 살고 있다 . ⑤서울 , 부산, 대구, 인천 등은 인구 200만 명 이상인 도시이다. 5. 다음에서 설명하고 있는 용어는 ? 농어촌 인구가 도시로 이동하면서 도시 인구의 비율이 증가하는 것으로 , 도시의 수 ,인구,면적이 증가하는 양 적인 면과 도시적 생활 양식이 형성되고 확산되는 질적 인 면이 있다 . ① 국제화 ② 도시화 ③ 공업화 ④ 지역화 ⑤ 세계화 6. 다음 표는 주요 국가의 도시화율이다 . 앞으로 이촌 향도 현상이 급격히 일어날 지역이 아닌 것은? 국가명 연 도 도시화율(%) ① 부룬디 1990 5.0% ② 캄보디아 1990 12.6% ③ 에티오피아 1992 14.7% ④ 베트남 1992 20.6% ⑤ 칠레 1992 85.1% 7. 다음 세계 대도시에 대한 설명 중 바른 것으로만 골 라 묶은 것은 ? a. 선진국의 대도시일수록 인구 증가율이 높다 . b. 대도시는 대부분 주요 공업 지역에 분포한다 . c. 세계 10대 도시는 모두 온대 지역에 분포하고 있다 . d. 세계 10대 도시는 대부분 아시아와 라틴아메리카에 있다. e. 최근 성장한 개발 도상국의 대도시들은 열대 해안 지 역에 분포하고 있다 . ① ⓐ,ⓒ,ⓔ ② ⓑ,ⓒ,ⓓ ③ ⓒ,ⓓ,ⓔ ④ ⓐ,ⓑ,ⓓ ⑤ⓑ,ⓓ,ⓔ 8. 다음과 같은 특징을 가진 도시는 ? ○ 세계적인 금융 기관과 다국적 기업의 본사가 있다 . ○ 여러 가지 국제 기구의 활동 중심지이다 . ○ 뉴욕 , 런던, 파리, 로테르담, 프랑크푸르트, 취리히, 도쿄 등이 이에 속한다 . ① 신도시 ② 위성 도시 ③거대도시 ④세계도시 ⑤ 행정 도시 9. 대부분의 도시는 여러 가지 기능을 가지고 있으나 산업별 인구 구조와 경제 활동에 따라 공업 도시 , 행정 도시 , 종합 기능 도시 등으로 분류할 수 있다 . 다음 중 행정 도시에 해당하는 것으로만 묶인 것은 ? ① 서울 -뉴욕 ② 과천 -워싱턴 ③ 울산 -에센 ④ 태백 -시드니 ⑤ 포항 -런던 10. 다음 중 A지역에 대한 설명으로만 묶인 것은 ? a 고층 건물이 많다 . b 상주 인구가 많다 . c 교통이 매우 복잡 d 주택,학교,공장 등 이 모여 있다 . e 각종 기관과 회사 등이 모여 있다 . ①ⓐ,ⓒ,ⓔ ③ ⓒ,ⓓ,ⓔ ⑤ ⓑ,ⓓ,ⓔ A D 도로 B C ④ ⓐ,ⓑ,ⓓ ② ⓑ,ⓒ,ⓓ 11. 그림에 대한 설명 중 바르지 못한 것은? A D ① B지역은 교통의 발달과 관계가 깊다 . ② B지역은 A기능의 일 부를 맡고 있다 . ③ C는 대도시의 인구 , 도로 공장, 행정 기관 등이 분산 B 되어 형성된 도시이다 .C ④ C에 해당하는 도시는 성남 ,부천,김해 등이다 . ⑤ D지역에는 주택 ,학교,공장 등이 옮겨온다 . 12. 다음 지도의 지역에 대한 설명으로 바르지 못한 것은? ① 세계 경제의 중심지가 되고 있다. ② 공업화와 자동차 교통의 발 달로 생겨났다 . ③도시문제해결을위해계획적으로 조성한 것이다 . ④ 여러 개의 도시가 하나로 연결된 메갈로폴리스라고 한다. ⑤ 영국의 런던 -리버풀 지역에도 비슷한 현상이 나타 난다.

비러브드 시스터즈 (2014)

Die geliebten Schwestern Beloved Sisters

괴테 쉴러는 이제 영화로 독일인을 유혹하는 것입니다. 도미니크 그라프는 시인이자 두 자매의 그의 사랑에 대한 영화

헨리에트 콘퓨리우스 (샬롯 역), 플로리안 스테터 (프리드리히 역), 한나 헤르츠스프룽 (카롤리네 역), 클라우디아 메스너

헨리에트 콘퓨리우스  여성

Henriette Confurius

출생일 1991-02-05 

출신지 독일 베를린 (Berlin, Germany)

신체사항 165.0cm

최근작품 비러브드 시스터즈 (2014), 카운테스 (2009)

DIE GELIEBTEN SCHWESTERN Trailer 2014 Deutsch
Ab 31. Juli 2014 im Kino!
Einen heißen Sommer lang ringen zwei Schwestern um einen Mann, den beide lieben: Die schöne Caroline von Beulwitz (HANNAH HERZSPRUNG) ist unglücklich verheiratet, sehnt sich nach Liebe und Leben. Charlotte von Lengefeld (HENRIETTE CONFURIUS), ihre schüchterne Schwester, träumt von einem Gatten. Sie sind ein Herz und eine Seele, auch dann noch, als Friedrich Schiller (FLORIAN STETTER) in ihr beider Leben tritt...
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