2계 미분방정식 2nd Order Linear Differential Equation

2nd Order Ordinary Differential Equation 2nd Order Ordinary Differential Equation 2계미분방정식이라구?? 2nd Order Linear Differential Equation )()(')(")(xGyxCyxByxA... y1만을포함하고있음.Linear ( 선형) G(x) = 0 .Homogeneous ( 제차, 동차) G(x) ≠ 0 .Inhomogeneous ( 비제차) Our Concern )()(')(")(xGyxCyxByxA... Homogeneous: G(x) = 0 Const. Coefficients: 0'"...ycybyacxCbxBaxA...)(,)(,)( Textbook p.297~299 2계제차선형미분방정식의해2계제차선형미분방정식의해 . 두 개의 서로 독립인 함수 y1(x), y2(x)를 포함 . 일반해늒 그 두 해의 선형 결합 : y(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x) . 두 개의 초기조건 적용 : 두 상수 c1, c2 결정 0".y1)(1.xyxxy.)(2)()()(2211xycxycxy..xcc21.. 선형결합 0".y1)(1.xyxxy.)(2)()()(2211xycxycxy..xcc21.. 선형결합 3)0(.y1)0('.y31.c12.cxxy..3)( 서로 (1차) 독립읹 조건 0'' '' ....gfgfgfgfW 1)(.xfxxg.)( 01101 ... xW독립 xxf.)(xxg2)(. 0212 .. xxW종속(Wronskian) Quiz xxf..1)(xxg..1)( 독립 여부 ? 상수계수2계제차선형미분방정식 0'"...ycybyaconstant,..teytxtxtxetytey2",'..02...txtxtxectebeta02...ctbta(특성방정식) 상수계수2계제차선형미분방정식 0'"...ycybyaconstant,..teytxtxtxetytey2",'..02...txtxtxectebeta02...ctbta(특성방정식) Case A: Two Distinct Real Roots 2121,ttttt..02...ctbta(특성방정식) Case A: Two Distinct Real Roots 2121,ttttt..02...ctbta(특성방정식) Your Due: Prove that exp(t1x) and exp(t2x) are independent. )exp()exp()(2211xtcxtcxy.. Your Due: < 예제 2.1>, < 연습문제 1> A Simple Example txey.xxececxy...21)(0"..yytxtey.'txety2".02..txtxeet1..t2)0(',0)0(..yy2)0(',0)0(2121......ccyccyxeexyxxsinh2)(.... A Simple Example txey.xxececxy...21)(0"..yytxtey.'txety2".02..txtxeet1..t2)0(',0)0(..yy2)0(',0)0(2121......ccyccyxeexyxxsinh2)(.... Case B: One Equal Root )exp()(,)exp()(21txxxytxxy..02...ctbta(특성방정식) Case B: One Equal Root )exp()(,)exp()(21txxxytxxy..02...ctbta(특성방정식) Your Due: Prove that y1(x) and y2(x) are independent. txexccxy)()(21.. Your Due: < 예제 2.2>, < 연습문제 1> Case C: Two Distinct Imaginary Roots ....itit....21,)exp()exp()(2211xtcxtcxy..02...ctbta(특성방정식) Case C: Two Distinct Imaginary Roots ....itit....21,)exp()exp()(2211xtcxtcxy..02...ctbta(특성방정식) 이 함수늒 지수함수와 삼각함수의 결합으로 표현된다 . Euler’s Formula ...sincosiei.. (2.71828...) 1 0 1 3.141592... . . . . A Simple Example txey.ixixececxy...21)(0"..yytxtey.'txety2".02..txtxeetit..0)0(',1)0(..yy0)()0(',1)0(2121......cciyccy xeexyixixcos)( 21)(.... A Simple Example txey.ixixececxy...21)(0"..yytxtey.'txety2".02..txtxeetit..0)0(',1)0(..yy0)()0(',1)0(2121......cciyccy xeexyixixcos)( 21)(.... Shock Absorber .Shock Absorber .차체의진동을빠르게소멸시킴.“쇼바”가아니고“쇼크앱소버” 작지만매우중요한부품작지만매우중요한부품 Shock Absorber Shock Absorber Shock Absorber 역할과목적역할과목적 차체에 오늒 충격을 진동으로 바꿔주고 가장 아늑하게 소멸시킴 감쇠력과 감쇠상수 m물체가빠를수록액체로부터받는감쇠력(저항력)은크다. vFD.)Force(DampingdtdxbbvFD.... 감쇠력의 방향은 물체의 운동 방향과 반대이다 . b : 감쇠상수 (감쇠력과 속도 사이의 비례상수 ) 스프링에 매달린 물체에 작용하는 두 힘 스프링의 복원력 (Hooke 의 법칙 ) mkxFR..)Force(RestoringdtdxbbvFD.... 액체의감쇠력 kxdtdxbkxbvFFFRD........ 물체가받는힘 감쇠진동에 대한 미분방정식 뉴턴의 운동방정식 kxdtdxbFFFRD..... 물체가받는힘 22dtxdmmaF.. 미분방정식 022022 ....xdtdxdtxd . 풀이 constant,....tex ttedtxdedtdx....222,.. 02202....ttteee...... 022022 ....xdtdxdtxd . (특성방정식) 02202....... 202........ Case A: Under-Damping tietx)( 1)(.....tietx)( 2)(.....0.....i.... 202........220..... (선형결합) ..tititecece.......21 Case A: Under-Damping (Continued) ..)cos(')sin('21tctcet......)cos(......tcet..tititececetx.......21)()cos()(......tectxt 감쇠 진동 Damped Oscillation Case B: Over-Damping ... 202........02022......... tetx1)(1 ..tetx2)(2 .. (단조감소) )()()(2211txctxctx.. (선형결합) ttecec2121 .... Case C: Critical Damping tetx...)(1 ttetx...)(2... )()()(2211txctxctx.. (선형결합) ..tetcc....21 이 경우 진동이 가장 빨리 소멸 No Damping Under-Damping Critical Damping Over-Damping No Damping Under-Damping Critical Damping Over-Damping 감쇠진동감쇠진동 2~3회 왕복에 진동이 거의 소멸되도록 설계 Case Study 2: Critical Damping .임계감쇠.최단시간에진동을소멸시킴.적용예: 도어 Case Study 2: Critical Damping .임계감쇠.최단시간에진동을소멸시킴.적용예: 도어 Little Damping Door Damper 특성방정식이 중근을 가질 때 감쇠가 가장 빠르다 ! Summary .2계선형미분방정식: 제차/ 비제차 .우리는상수계수제차미방만을다룸 .서로독립인두개의함수가필요 .두함수가서로독립일조건은W≠0 .일반해는독립인두함수의선형결합 .상수계수제차미방: 특성방정식풀이를통해 .두근이서로다른경우와중근인경우로나뉨Summary .2계선형미분방정식: 제차/ 비제차 .우리는상수계수제차미방만을다룸 .서로독립인두개의함수가필요 .두함수가서로독립일조건은W≠0 .일반해는독립인두함수의선형결합 .상수계수제차미방: 특성방정식풀이를통해 .두근이서로다른경우와중근인경우로나뉨